Les dérivées des fonctions usuelles
Ce sont les briques élémentaires. Tout calcul de dérivée revient, à un moment ou à un autre, à ces formules de base.
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | $\mathbb{R}$ |
| $x$ | $1$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \geq 1$ entier) | $n\,x^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\ln(x)$ | $\dfrac{1}{x}$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $\mathbb{R}$ |
À retenir : $e^x$ est la seule fonction dont la dérivée est elle-même. C'est une propriété remarquable, souvent utile dans les équations différentielles.
Les règles d'opération
Quand une fonction est une combinaison de fonctions simples, on utilise ces règles. La première étape est toujours d'identifier la structure : est-ce une somme ? un produit ? un quotient ?
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables, et $k$ un réel.
| Opération | Formule | Point de vigilance |
|---|---|---|
| Somme | $(u + v)' = u' + v'$ | On dérive terme à terme. |
| Multiplication par un réel | $(k\,u)' = k\,u'$ | $k$ reste, on dérive $u$. |
| Produit | $(uv)' = u'v + uv'$ | Ne pas multiplier les dérivées entre elles. |
| Inverse | $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$ | Valable là où $u \neq 0$. |
| Quotient | $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ | Valable là où $v \neq 0$. |
La règle du produit est la plus piégée. La formule est $(uv)' = u'v + uv'$, pas $u' \times v'$. Avant de l'appliquer, posez explicitement $u$, $v$, $u'$ et $v'$ sur votre brouillon : cette étape intermédiaire évite la majorité des erreurs.
Pour le quotient, l'ordre au numérateur est fixe : dérivée du haut fois bas, moins haut fois dérivée du bas, le tout sur bas au carré.
Les fonctions composées (formes en $u$)
C'est la nouveauté centrale de la Terminale. Une fonction composée, c'est une fonction appliquée à une autre : $e^{x^2}$, $\ln(3x+1)$, $\sqrt{x^2 - 1}$.
La règle générale : si $g$ est dérivable et $u$ est dérivable, alors $\bigl(g(u(x))\bigr)' = u'(x) \times g'(u(x))$.
En pratique, les formes qui tombent au bac sont toujours les mêmes :
| Forme | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| $u^n$ | $n\,u'\,u^{n-1}$ | / |
| $\sqrt{u}$ | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ | $u > 0$ |
| $e^u$ | $u'\,e^u$ | / |
| $\ln(u)$ | $\dfrac{u'}{u}$ | $u > 0$ |
| $\sin(u)$ | $u'\,\cos(u)$ | / |
| $\cos(u)$ | $-u'\,\sin(u)$ | / |
La méthode en trois étapes pour une composée
- Identifier $u$ (la fonction intérieure) et écrire $u'$.
- Identifier la fonction extérieure $g$ et écrire $g'$.
- Multiplier : $u' \times g'(u)$.
Exemple 1 : dériver $f(x) = e^{3x^2 - 1}$.
$u(x) = 3x^2 - 1$, donc $u'(x) = 6x$. La fonction extérieure est $e^{\,\cdot\,}$, dont la dérivée est $e^{\,\cdot\,}$.
Résultat : $f'(x) = 6x \cdot e^{3x^2 - 1}$.
Exemple 2 : dériver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$.
$u(x) = x^2 + 1$, donc $u'(x) = 2x$. La fonction extérieure est $\ln$, dont la dérivée est $\dfrac{1}{\,\cdot\,}$.
Résultat : $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$.
L'équation de la tangente
À connaître par cœur. La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation :
$$\boxed{y = f'(a)(x - a) + f(a)}$$Ce que ça signifie : $f'(a)$ est le coefficient directeur (la pente), et le point de tangence est $\bigl(a,\,f(a)\bigr)$.
Étapes de calcul
- Calculer $f(a)$ : l'ordonnée du point de tangence.
- Calculer $f'(x)$, puis $f'(a)$ : le coefficient directeur.
- Substituer dans la formule.
Utiliser la dérivée pour les variations
Une fois $f'(x)$ calculée, l'objectif est d'étudier son signe pour remplir le tableau de variations de $f$.
- Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle : $f$ est croissante sur cet intervalle.
- Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle : $f$ est décroissante sur cet intervalle.
- Si $f'(c) = 0$ et $f'$ change de signe en $c$ : $f$ admet un extremum en $c$.
Le travail consiste donc souvent à factoriser $f'(x)$ pour identifier ses racines et étudier son signe par un tableau.