1. Modéliser une droite : la représentation paramétrique
Une droite dans l'espace ne peut pas s'écrire comme une seule équation — il en faut trois, liées par un paramètre $t$. Il faut deux éléments : un point $A(x_A ; y_A ; z_A)$ sur la droite, et un vecteur directeur $\vec{u}(a ; b ; c)$.
$$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$Deux situations au bac :
- La droite passe par deux points $A$ et $B$ : le vecteur directeur est $\vec{AB}$, dont les coordonnées sont $(x_B - x_A \; ; \; y_B - y_A \; ; \; z_B - z_A)$.
- La droite est orthogonale à un plan : son vecteur directeur est le vecteur normal de ce plan.
Exemple : La droite $D$ passe par $A(2 ; 3 ; -1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(-1 ; -6 ; 3)$.
$$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - 6t \\ z = -1 + 3t \end{cases}$$Il existe une infinité de représentations paramétriques pour une même droite (selon le point de départ choisi). Toutes sont équivalentes.
2. Modéliser un plan : l'équation cartésienne
Un plan s'écrit toujours sous la forme $ax + by + cz + d = 0$, où $(a ; b ; c)$ sont les coordonnées du vecteur normal $\vec{n}$ au plan. Connaître $\vec{n}$, c'est connaître la direction perpendiculaire au plan.
Comment trouver l'équation d'un plan défini par trois points $A$, $B$, $C$ :
- Calculer deux vecteurs du plan : $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
- Trouver $\vec{n}(a ; b ; c)$ tel que $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$ (système à deux équations ; fixer arbitrairement une valeur, par exemple $a = 1$, pour résoudre).
- Écrire $ax + by + cz + d = 0$, puis injecter les coordonnées d'un point connu du plan pour trouver $d$.
Exemple : $\vec{n}(2 ; 3 ; -1)$, plan passant par $B(0 ; 2 ; 2)$.
$$2(0) + 3(2) - (2) + d = 0 \implies d = -4$$Équation finale : $2x + 3y - z - 4 = 0$.
3. Positions relatives : le tableau de référence
C'est la question la plus fréquente en début d'exercice. Le raisonnement repose entièrement sur les produits scalaires entre les vecteurs caractéristiques : $\vec{u}$ est un vecteur directeur d'une droite, $\vec{n}$ est un vecteur normal d'un plan.
| Objets | Condition | Conclusion |
|---|---|---|
| Droite et plan | $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ | Droite parallèle au plan (ou incluse dedans) |
| Droite et plan | $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ | Droite sécante au plan (un point d'intersection unique) |
| Droite et plan | $\vec{u}$ et $\vec{n}$ colinéaires | Droite perpendiculaire au plan |
| Deux droites | Vecteurs directeurs colinéaires | Droites parallèles (ou confondues) |
| Deux droites | $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$ | Droites orthogonales (pas forcément sécantes) |
| Deux plans | Vecteurs normaux colinéaires | Plans parallèles |
| Deux plans | $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$ | Plans orthogonaux |
| Deux plans | Vecteurs normaux non colinéaires | Plans sécants (intersection = une droite) |
Rappel produit scalaire dans un repère orthonormé : pour $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x' ; y' ; z')$,
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$$4. Trouver un point d'intersection (droite à plan)
C'est la compétence mécanique par excellence. Elle vaut 2 à 3 points dans la majorité des exercices.
Méthode en 3 étapes :
- Remplacer $x$, $y$ et $z$ dans l'équation du plan par leurs expressions paramétriques issues de la droite.
- Résoudre l'équation en $t$ obtenue.
- Réinjecter la valeur de $t$ dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées du point.
Exemple : Droite $D : x = 1+t,\ y = 2-t,\ z = 3t$ ; plan $P : 2x + y - z + 1 = 0$.
$$2(1+t) + (2-t) - 3t + 1 = 0 \implies 5 - 2t = 0 \implies t = 2{,}5$$Point d'intersection : $(3{,}5 \; ; \; -0{,}5 \; ; \; 7{,}5)$.
Vérifier qu'un point appartient à une droite : substituer ses coordonnées dans le système paramétrique et vérifier qu'on obtient la même valeur de $t$ sur les trois lignes.
Vérifier qu'un point appartient à un plan : remplacer $x, y, z$ dans l'équation cartésienne. Le résultat doit être égal à zéro.
5. Projeté orthogonal et distances
C'est la partie qui différencie les copies à 14 de celles à 18. Elle apparaît dans la dernière question de l'exercice.
Principe : le projeté orthogonal de $A$ sur un objet (droite ou plan) est le point $H$ de cet objet le plus proche de $A$. La distance cherchée est $AH$.
$$AH = \sqrt{(x_H - x_A)^2 + (y_H - y_A)^2 + (z_H - z_A)^2}$$Distance d'un point à un plan (formule directe)
Si le plan a pour équation $ax + by + cz + d = 0$ et que le point est $M(x_M ; y_M ; z_M)$ :
$$d(M, P) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$La valeur absolue au numérateur garantit un résultat positif. Le dénominateur est la norme du vecteur normal.
Exemple : $M(1 ; 1 ; 1)$ et plan $3x - 4y + 12z + 2 = 0$.
$$d = \frac{|3(1) - 4(1) + 12(1) + 2|}{\sqrt{9 + 16 + 144}} = \frac{13}{13} = 1$$Distance d'un point à une droite (projeté orthogonal à construire)
Pas de formule directe au bac : il faut construire $H$.
- Écrire la droite sous forme paramétrique.
- Exprimer $\vec{AH}$ en fonction de $t$.
- Poser $\vec{AH} \cdot \vec{u} = 0$ (orthogonalité) pour trouver $t$, puis les coordonnées de $H$.
- Calculer $AH$ avec la formule des distances.
6. Les 3 pièges classiques
Piège 1 — Confondre vecteur directeur et vecteur normal. Le vecteur directeur est parallèle à la droite. Le vecteur normal est perpendiculaire au plan. Quand une droite est perpendiculaire à un plan, son vecteur directeur est le vecteur normal du plan. C'est là que se fait la confusion.
Piège 2 — Vecteur directeur des droites "parallèles". Deux droites à vecteurs directeurs colinéaires sont parallèles ou confondues. Si l'énoncé demande de justifier qu'elles sont strictement parallèles, il faut vérifier qu'un point de l'une n'appartient pas à l'autre.
Piège 3 — Oublier la valeur absolue dans la formule de distance. La formule $d(M, P) = |ax_M + by_M + cz_M + d| / \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ exige la valeur absolue au numérateur. Sans elle, le résultat peut être négatif, ce qui n'a aucun sens pour une distance.