1. La formule et ce qu'elle signifie
La formule de l'intégration par parties est :
$$\boxed{\int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx = \bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx}$$Deux conditions à citer dans la copie au bac :
- $u$ et $v$ sont dérivables sur $[a\,;\,b]$.
- Leurs dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a\,;\,b]$.
Ce que fait la formule : elle transforme $\int u'v$ en un crochet calculable plus une nouvelle intégrale $\int uv'$. L'IPP n'est utile que si cette seconde intégrale est plus simple que la première. C'est le critère à vérifier après avoir posé les fonctions.
La formule vient de $(uv)' = u'v + uv'$, donc $\int u'v = [uv] - \int uv'$. Partir de cette identité est la meilleure façon de ne jamais l'oublier.
2. Comment poser $u'$ et $v$ : la règle ALPES
C'est l'étape décisive. Un mauvais choix rend le calcul impossible ou plus compliqué qu'au départ. La règle ALPES donne l'ordre de priorité pour choisir la fonction à placer en $v$ — celle qu'on va dériver.
| Lettre | Famille de fonctions | Priorité pour $v$ (on dérive en premier) |
|---|---|---|
| A | Arctangente | Maximale |
| L | Logarithme (ln) | Haute |
| P | Polynôme ($x$, $x^2$, …) | Moyenne |
| E | Exponentielle | Basse |
| S | Sinus / Cosinus | Basse |
Principe : dans le produit, on pose en $v$ la fonction dont la lettre est la plus à gauche dans ALPES. L'autre devient $u'$ — c'est elle qu'on intègre pour trouver $u$.
Exemple de lecture : dans $\int x\,e^x\,dx$, le polynôme $x$ est P, l'exponentielle est E. P est avant E dans ALPES — on pose $v(x) = x$ et $u'(x) = e^x$.
3. La méthode en 4 étapes
Étape 1 — Identifier les deux facteurs et appliquer ALPES pour poser $v$ et $u'$.
Étape 2 — Remplir le "squelette" (à écrire sur le côté de la copie) :
$$v(x) = \dots \implies v'(x) = \dots$$ $$u'(x) = \dots \implies u(x) = \dots \quad \text{(une primitive de }u'\text{)}$$Étape 3 — Substituer dans la formule :
$$\int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx = \bigl[u(x)\,v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx$$Étape 4 — Calculer le crochet (haut moins bas) et la nouvelle intégrale, qui doit être plus simple que la première.
4. Les trois types d'exercices classiques au bac
Type 1 — Polynôme × exponentielle ou trigonométrique
Exemple : $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$
Squelette : $v(x) = x \implies v'(x) = 1$ et $u'(x) = e^x \implies u(x) = e^x$.
$$\int_0^1 x\,e^x\,dx = \bigl[x\,e^x\bigr]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - \bigl[e^x\bigr]_0^1 = e - (e - 1) = 1$$La nouvelle intégrale $\int e^x\,dx$ est immédiate : le choix était bon.
Type 2 — L'astuce du $\times\,1$ : intégrer $\ln(x)$ ou $\arctan(x)$ seuls
Ces fonctions n'ont pas de primitive usuelle. On force l'IPP en multipliant par $1$.
Exemple : $\displaystyle\int_1^e \ln(x)\,dx = \int_1^e 1 \cdot \ln(x)\,dx$
Dans ALPES, L (logarithme) est avant P (polynôme — ici le $1$). On dérive donc le logarithme : $v(x) = \ln(x) \implies v'(x) = 1/x$ et $u'(x) = 1 \implies u(x) = x$.
$$\int_1^e \ln(x)\,dx = \bigl[x\ln(x)\bigr]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\,dx = e - \bigl[x\bigr]_1^e = e - (e-1) = 1$$La même astuce fonctionne pour $\arctan(x)$ : on pose $u' = 1$ et $v = \arctan(x)$, car A est avant P dans ALPES.
Type 3 — La double IPP : polynôme de degré 2
Quand le polynôme est de degré 2, une seule IPP abaisse le degré de 2 à 1, et il faut recommencer.
Exemple : $\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2\cos(x)\,dx$
Première IPP : $v = x^2$, $u' = \cos(x)$, donc $u = \sin(x)$.
$$\int_0^{\pi/2} x^2\cos(x)\,dx = \bigl[x^2\sin(x)\bigr]_0^{\pi/2} - 2\int_0^{\pi/2} x\sin(x)\,dx = \frac{\pi^2}{4} - 2\int_0^{\pi/2} x\sin(x)\,dx$$Deuxième IPP sur $\int_0^{\pi/2} x\sin(x)\,dx$ : $v = x$, $u' = \sin(x)$, donc $u = -\cos(x)$.
$$\int_0^{\pi/2} x\sin(x)\,dx = \bigl[-x\cos(x)\bigr]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} \cos(x)\,dx = 0 + \bigl[\sin(x)\bigr]_0^{\pi/2} = 1$$Résultat final :
$$\int_0^{\pi/2} x^2\cos(x)\,dx = \frac{\pi^2}{4} - 2$$Règle à retenir : lors d'une double IPP, on conserve le même type de choix à chaque étape — on continue à dériver le polynôme et à intégrer la même famille de fonction. Inverser les choix à la deuxième étape annule le travail de la première.
5. Les 3 pièges qui coûtent des points au bac
Piège 1 — Oublier le signe moins. La formule est $[uv]\ \mathbf{-}\ \int uv'$. Le signe moins disparaît régulièrement entre le brouillon et la copie au propre. Vérifiez-le systématiquement.
Piège 2 — Inverser $u'$ et $v$. Un mauvais choix rend la nouvelle intégrale plus complexe que l'originale — signe certain que ALPES n'a pas été respecté. Si le calcul se complique après la première IPP, vérifiez l'ordre de départ.
Piège 3 — Omettre la justification de validité. Au bac, l'IPP sans mention de la dérivabilité de $u$ et $v$ et de la continuité de $u'$ et $v'$ sur l'intervalle perd des points de rédaction. Cette ligne prend 10 secondes à écrire.