Ce que sont vraiment le sinus et le cosinus
Avant le lycée, la trigonométrie se limitait aux triangles rectangles. En Terminale, la définition s'étend à tous les réels via le cercle trigonométrique : un cercle de centre l'origine et de rayon 1, parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
À tout réel $x$, on associe un point $M$ sur ce cercle. Les coordonnées de $M$ définissent directement :
- $\cos(x)$ = abscisse de $M$ (position sur l'axe horizontal)
- $\sin(x)$ = ordonnée de $M$ (position sur l'axe vertical)
Le rayon vaut 1 : les formules "adjacent/hypoténuse" et "opposé/hypoténuse" du triangle rectangle donnent directement l'abscisse et l'ordonnée sans division. C'est la condition pour que les coordonnées soient le sinus et le cosinus.
Deux conséquences immédiates, à connaître par réflexe :
La relation fondamentale est utilisée dans presque tous les exercices de trigonométrie. Si on connaît $\cos(x)$ et le quadrant, on peut calculer $\sin(x)$, et inversement.
Valeurs remarquables, parité et signe
Tableau des valeurs remarquables
Ces valeurs se lisent directement sur le cercle trigonométrique. Les mémoriser évite de bloquer en plein calcul.
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos(x)$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\sin(x)$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
Astuce de mémorisation pour la ligne $\cos$ : les valeurs de $0$ à $\pi/2$ sont $\frac{\sqrt{4}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{1}}{2}$, $\frac{\sqrt{0}}{2}$ : les racines descendent de 4 à 0. La ligne $\sin$ suit le même motif dans l'autre sens.
Parité et périodicité
Ces deux propriétés permettent de réduire l'intervalle d'étude, compétence explicitement attendue au bac.
| Propriété | Cosinus | Sinus |
|---|---|---|
| Parité | Pair : $\cos(-x) = \cos(x)$ | Impair : $\sin(-x) = -\sin(x)$ |
| Symétrie graphique | Axe des ordonnées | Origine du repère |
| Périodicité | $2\pi$-périodique | $2\pi$-périodique |
Si $f$ est paire et $2\pi$-périodique, il suffit d'étudier $f$ sur $[0\,;\,\pi]$. Le reste de la courbe se reconstruit par symétrie axiale puis par translation de $2\pi$.
Signe selon le quadrant
| Quadrant | $\cos(x)$ | $\sin(x)$ |
|---|---|---|
| 1er : $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$ | $+$ | $+$ |
| 2e : $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ | $-$ | $+$ |
| 3e : $\left[\pi\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$ | $-$ | $-$ |
| 4e : $\left[\dfrac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right]$ | $+$ | $-$ |
Les dérivées et leurs applications
Formules de dérivation
| Fonction | Dérivée | Forme composée | Dérivée |
|---|---|---|---|
| $\sin(x)$ | $\cos(x)$ | $\sin(u)$ | $u'\cos(u)$ |
| $\cos(x)$ | $-\sin(x)$ | $\cos(u)$ | $-u'\sin(u)$ |
Le signe moins sur la dérivée de $\cos$ est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Pour ne plus l'oublier : la dérivée "descend", cosinus donne moins sinus, mais sinus remonte vers cosinus sans signe.
Étudier le signe de la dérivée sur un intervalle
C'est là que le bac teste réellement la maîtrise du chapitre. La démarche est toujours la même.
Calculer $f'(x)$ en appliquant les règles de dérivation (produit, composée).
Encadrer ou factoriser. Sur un intervalle donné, utiliser les encadrements $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ pour conclure sans résoudre une équation.
Résoudre une inéquation si l'encadrement ne suffit pas. Chercher où $f'(x) = 0$ change de signe en utilisant le cercle trigonométrique.
Exemple. Étudier le signe de $f'(x) = 2\cos(x) - \sqrt{3}$ sur $[0\,;\,\pi]$.
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6}$ (seule solution sur $[0\,;\,\pi]$, car $\cos$ est décroissant sur $[0\,;\,\pi]$).
Sur $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{6}\right]$ : $\cos(x) \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $f'(x) \geq 0$. Sur $\left[\dfrac{\pi}{6}\,;\,\pi\right]$ : $f'(x) \leq 0$.
Résoudre équations et inéquations trigonométriques
Équations : $\cos(x) = a$ et $\sin(x) = a$
La solution générale (sur $\mathbb{R}$) suit toujours le même modèle :
où $\alpha$ est la valeur remarquable identifiée sur le cercle trigonométrique.
La règle de symétrie à retenir :
- Pour $\cos$ : les deux solutions sont symétriques par rapport à l'axe horizontal ($\alpha$ et $-\alpha$).
- Pour $\sin$ : les deux solutions sont symétriques par rapport à l'axe vertical ($\alpha$ et $\pi - \alpha$).
Exemple. Résoudre $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi]$.
On reconnaît $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$, donc $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$.
Les deux solutions sur $[0\,;\,2\pi]$ sont : $x = \dfrac{\pi}{6}$ et $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}$.
Inéquations : lire sur le cercle
Pour $\sin(x) \geq a$ ou $\cos(x) \leq a$ sur un intervalle, la méthode est géométrique :
- Identifier la valeur $\alpha$ telle que $\sin(\alpha) = a$ (ou $\cos(\alpha) = a$).
- Repérer sur le cercle les arcs où le sinus (ou cosinus) est supérieur (ou inférieur) à $a$.
- Écrire l'ensemble solution en intervalles.
Ne jamais résoudre une inéquation trigonométrique par algèbre pure sans passer par le cercle. La géométrie est ici l'outil adapté.
Limites et théorème des gendarmes
Les fonctions $\sin$ et $\cos$ n'ont pas de limite en $\pm\infty$ : elles oscillent indéfiniment entre $-1$ et $1$. Le bac exploite ce point de deux façons.
Cas 1 : limite d'un produit $f(x) \cdot \sin(x)$. Si $f(x) \to 0$, on encadre :
Par le théorème des gendarmes, si les deux membres tendent vers $0$, le produit aussi. Exemple classique : $e^{-x}\cos(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$.
Cas 2 : limite remarquable. Le résultat suivant est admis en Terminale :
Il n'est pas exigible seul au bac, mais peut apparaître dans une question guidée.
Les 4 pièges classiques
Piège 1 : confondre $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = \sin(x)$. Le cosinus est pair (pas de changement de signe), le sinus est impair (signe qui change). Confondre les deux fait perdre des points sur les questions de parité et sur les équations.
Piège 2 : oublier le signe moins dans $(\cos(x))' = -\sin(x)$. La dérivée du cosinus est moins sinus. Pour les formes composées, c'est $(\cos(u))' = -u'\sin(u)$. Ce signe disparaît régulièrement dans les copies.
Piège 3 : écrire une seule solution à une équation trigonométrique. $\cos(x) = \frac{1}{2}$ a deux familles de solutions : $\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ et $-\frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Oublier la seconde est l'erreur la plus fréquente sur ce type de question.
Piège 4 : travailler en degrés au lieu de radians. Dès que le programme de Terminale est concerné, l'unité est le radian. Travailler en radians dès le départ évite les erreurs de conversion.