Ce qu'il faut savoir avant de commencer
Un condensateur est un dipôle qui stocke de l'énergie sous forme de charges électriques. Dans un circuit RC, il est associé à une résistance $R$. Deux relations sont à connaître par cœur, elles servent dans tous les exercices du chapitre, sans exception.
| Relation | Formule | Ce qu'elle dit |
|---|---|---|
| Charge aux bornes du condensateur | $q = C \cdot u_C$ | La charge $q$ est proportionnelle à la tension $u_C$ |
| Intensité en régime variable | $i = C \cdot \dfrac{du_C}{dt}$ | Le courant est proportionnel à la dérivée de la tension |
La deuxième relation s'obtient en dérivant la première ($i = dq/dt$, et $C$ est une constante). C'est elle qui introduit la dérivée dans l'équation différentielle.
Établir l'équation différentielle : la méthode en 4 étapes
Cette méthode s'applique à la charge comme à la décharge. La seule chose qui change est le membre de droite.
Appliquer la loi des mailles. On choisit un sens de circulation, puis on écrit que la somme des tensions est nulle.
- ▸ En charge (générateur de tension $E$) : $E = u_R + u_C$
- ▸ En décharge (pas de générateur) : $0 = u_R + u_C$
Exprimer $u_R$ avec la loi d'Ohm. $u_R = R \cdot i$
Remplacer $i$ par son expression en fonction de $u_C$. On utilise $i = C \cdot \dfrac{du_C}{dt}$, donc $u_R = R \cdot C \cdot \dfrac{du_C}{dt}$.
Injecter dans la loi des mailles et mettre en forme.
On obtient la forme canonique avec $\tau = RC$ :
| Situation | Équation différentielle |
|---|---|
| En charge | $\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{u_C}{\tau} = \dfrac{E}{\tau}$ |
| En décharge | $\dfrac{du_C}{dt} + \dfrac{u_C}{\tau} = 0$ |
La constante de temps $\tau$ (tau) vaut $RC$. Elle s'exprime en secondes, c'est le seul paramètre qui contrôle la rapidité du circuit.
Piège fréquent : l'équation différentielle doit être mise sous forme standard avec un coefficient 1 devant $\dfrac{du_C}{dt}$. Après l'étape 4, diviser par $RC$ si ce coefficient est encore présent.
Les solutions : ce qu'on cherche au bac
Au bac, on ne demande pas de résoudre l'équation différentielle de zéro. On demande de vérifier qu'une expression proposée par l'énoncé est bien solution, ou d'identifier les constantes à partir des conditions initiales.
| Situation | Solution | Condition initiale |
|---|---|---|
| Charge (condensateur initialement déchargé) | $u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ | $u_C(0) = 0$ |
| Décharge (condensateur chargé à $E$) | $u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$ | $u_C(0) = E$ |
Comment vérifier une solution (méthode à rédiger sur la copie) :
1. Calculer $\dfrac{du_C}{dt}$ (dériver l'expression proposée).
2. Injecter $u_C(t)$ et $\dfrac{du_C}{dt}$ dans l'équation différentielle.
3. Vérifier que l'égalité est bien satisfaite.
4. Vérifier la condition initiale : calculer $u_C(0)$ et confirmer qu'elle correspond à l'état physique du circuit.
La constante de temps $\tau$ : ce qu'elle signifie physiquement
$\tau = RC$ se lit directement sur l'équation différentielle, mais ce qui compte au bac, c'est de savoir ce qu'elle représente et comment la lire sur un graphique.
À $t = \tau$ :
- En charge : le condensateur a atteint 63 % de sa tension finale $E$ (car $1 - e^{-1} \approx 0{,}63$).
- En décharge : la tension n'est plus qu'à 37 % de sa valeur initiale (car $e^{-1} \approx 0{,}37$).
On considère que le régime permanent est atteint après $5\tau$ : la charge (ou la décharge) est alors quasi complète à 99 %.
Deux méthodes graphiques pour lire $\tau$ sur une courbe
Méthode 1 : Tangente à l'origine. Tracer la tangente à la courbe en $t = 0$. Elle coupe l'asymptote horizontale (la valeur finale $E$) exactement en $t = \tau$.
Méthode 2 : Méthode des pourcentages. En charge, repérer la valeur $0{,}63 \times E$ sur l'axe des ordonnées, puis projeter horizontalement sur la courbe : l'abscisse est $\tau$. En décharge, faire de même avec $0{,}37 \times E$.
Les deux méthodes donnent le même résultat. La méthode des pourcentages est souvent plus précise quand la tangente est difficile à tracer à la main.
Les 3 erreurs qui font perdre des points
Erreur 1 : Sauter la loi des mailles. Certains élèves écrivent directement l'équation différentielle sans poser la loi des mailles. Le correcteur attend la démarche complète en quatre étapes. Un résultat juste sans démarche est souvent partiellement pénalisé.
Erreur 2 : Confondre la convention pour le condensateur. La relation $i = C \cdot \dfrac{du_C}{dt}$ est valide en convention récepteur (la flèche de $i$ et la flèche de $u_C$ pointent dans le même sens sur le condensateur). Au bac, l'énoncé précise généralement la convention, il faut la lire avant d'écrire quoi que ce soit.
Erreur 3 : Ne pas vérifier la condition initiale. Après avoir vérifié que la solution satisfait l'équation différentielle, beaucoup s'arrêtent là. Vérifier la condition initiale ($u_C(0)$) est une étape distincte, souvent notée séparément.