Les primitives des fonctions usuelles
Ces formules s'appliquent directement, sans chercher à identifier une structure composée.
| Fonction $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Domaine |
|---|---|---|
| $a$ (constante) | $ax$ | $\mathbb{R}$ |
| $x^n$ ($n \neq -1$, entier) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\mathbb{R}$ si $n \geq 0$ ; $\mathbb{R}^*$ si $n \leq -2$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln(|x|)$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $\dfrac{1}{x^2}$ | $-\dfrac{1}{x}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
| $e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cos(x)$ | $\sin(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sin(x)$ | $-\cos(x)$ | $\mathbb{R}$ |
| $\ln(x)$ | $x\ln(x) - x$ | $]0\,;\,+\infty[$ |
Deux points de vigilance : La primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$, avec un signe moins. Vérifiez toujours en dérivant votre résultat. La primitive de $\ln(x)$ est $x\ln(x) - x$ — elle peut apparaître dans un calcul d'aire ou une intégration par parties.
Les primitives des fonctions composées
C'est là que se joue la majorité des questions de primitives au bac. La clé est de reconnaître la forme $u' \times f(u)$.
| Forme de $f(x)$ | Une primitive $F(x)$ | Condition |
|---|---|---|
| $u' \times u^n$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ | $n \neq -1$ |
| $\dfrac{u'}{u}$ | $\ln(|u|)$ | $u \neq 0$ |
| $\dfrac{u'}{u^2}$ | $-\dfrac{1}{u}$ | $u \neq 0$ |
| $u' \times e^u$ | $e^u$ | / |
| $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u}$ | $u > 0$ |
| $u' \times \cos(u)$ | $\sin(u)$ | / |
| $u' \times \sin(u)$ | $-\cos(u)$ | / |
Cas fréquent : pour $e^{ax+b}$, la primitive est $\dfrac{1}{a}\,e^{ax+b}$. Le coefficient $\dfrac{1}{a}$ compense la dérivée de l'exposant.
La méthode en 3 étapes pour les formes composées
La difficulté principale est que la fonction n'est presque jamais écrite exactement sous la forme $u' \times f(u)$. Il faut ajuster un coefficient.
Identifier $u$. C'est ce qui est à l'intérieur : l'exposant de l'exponentielle, le contenu de la puissance, ce qui est sous le logarithme ou sous la racine.
Calculer $u'$ à part. Dériver $u$ indépendamment. Ce coefficient va déterminer l'ajustement nécessaire.
Ajuster le coefficient. Comparer ce que vous avez dans la fonction avec $u'$. Le coefficient d'ajustement est le rapport : $\dfrac{\text{coefficient de départ}}{\text{coefficient de }u'}$.
Exemple : primitiver $f(x) = 4x\,(x^2+5)^4$.
On pose $u = x^2 + 5$, donc $u' = 2x$. La forme est $u' \times u^n$ avec $n = 4$. La primitive de $u' \times u^4$ serait $\dfrac{u^5}{5}$.
Le coefficient de départ est $4x$, mais $u' = 2x$ : le rapport est $\dfrac{4}{2} = 2$.
Résultat : $F(x) = 2 \times \dfrac{(x^2+5)^5}{5} = \dfrac{2(x^2+5)^5}{5}$.
Vérification : dériver $F$ doit redonner $f$. Toujours faire ce contrôle.
Une primitive ou toutes les primitives ?
La distinction compte au bac, et les deux formulations n'appellent pas la même réponse.
- Si l'énoncé demande une primitive : donner $F(x)$ sans constante (on prend $k = 0$).
- Si l'énoncé demande les primitives (ou toutes les primitives) : écrire $F(x) + k$ avec $k \in \mathbb{R}$. Oublier le $+k$ fait perdre des points.
- Si l'énoncé donne une condition initiale du type $F(1) = 3$ : trouver $F(x) + k$, substituer la condition, résoudre pour $k$.
Exemple avec condition initiale : les primitives de $f(x) = 6x$ sont $F(x) = 3x^2 + k$. Si on impose $F(1) = 8$, alors $3 + k = 8$, donc $k = 5$. La primitive cherchée est $F(x) = 3x^2 + 5$.
Les 3 pièges qui font perdre des points
Piège 1 : Le signe de la primitive de $\sin(x)$. La primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$, pas $+\cos(x)$. La confusion vient du fait que c'est la dérivée de $\cos(x)$ qui est $-\sin(x)$. Réflexe à adopter : toujours vérifier par dérivation.
Piège 2 : Oublier le coefficient d'ajustement. Sur une fonction comme $e^{3x}$, écrire $e^{3x}$ comme primitive est faux. La primitive est $\dfrac{1}{3}e^{3x}$, parce que la dérivée de $e^{3x}$ est $3e^{3x}$. Le facteur $\dfrac{1}{3}$ est indispensable pour compenser.
Piège 3 : Confondre $u > 0$ et $u \neq 0$ pour le logarithme. $\ln(u)$ n'existe que si $u > 0$. La forme composée $\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln(|u|)$, ce qui couvre les cas où $u$ peut être négatif. Préciser le domaine est attendu dès qu'un logarithme apparaît.