Les trois formes d'énergie : définitions et formules
L'énergie cinétique $E_c$ : l'énergie du mouvement
L'énergie cinétique est l'énergie qu'un objet possède du fait de son mouvement. Un objet immobile a une énergie cinétique nulle. Plus il va vite, ou plus il est lourd, plus son énergie cinétique est grande. C'est elle qui explique pourquoi une voiture à 130 km/h met beaucoup plus de distance à s'arrêter qu'à 50 km/h : son énergie cinétique est presque sept fois plus élevée, car elle varie comme le carré de la vitesse, et non comme la vitesse elle-même.
avec $m$ en kg, $v$ en m/s, et $E_c$ en joules (J).
Point à retenir : si la vitesse double, $E_c$ est multipliée par quatre. C'est une erreur de proportionnalité que les correcteurs voient très souvent.
L'énergie potentielle $E_p$ : l'énergie de position
L'énergie potentielle est une énergie stockée, liée à la position ou à la configuration d'un objet, et non à son mouvement. On dit qu'elle est en réserve : elle peut être restituée sous forme cinétique si les conditions changent. Un livre posé en haut d'une étagère a plus d'énergie potentielle qu'au sol. Un ressort comprimé stocke de l'énergie qui sera libérée dès qu'on le lâche.
Au programme de Terminale, deux formes d'énergie potentielle sont à connaître.
L'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ est la forme la plus courante au bac. Elle traduit l'énergie stockée par un objet du fait de sa hauteur dans le champ de pesanteur terrestre. Plus l'objet est haut, plus cette réserve est grande, et plus il ira vite s'il tombe.
avec $m$ en kg, $g = 9{,}81\;\text{m/s}^2$, $z$ l'altitude en m depuis une référence choisie librement. Seule la variation $\Delta E_{pp} = mg\Delta z$ compte dans les calculs : le choix du niveau de référence ($z = 0$) n'a pas d'influence sur le résultat final, mais il doit être indiqué sur la copie.
L'énergie potentielle élastique $E_{pe}$ intervient quand un ressort est comprimé ou étiré. Elle mesure l'énergie stockée dans la déformation.
avec $k$ la raideur du ressort en N/m et $x$ l'élongation en m. D'autres formes d'énergie potentielle existent (électrique, chimique, nucléaire) mais elles ne relèvent pas de ce chapitre. En mécanique de Terminale, seules $E_{pp}$ et $E_{pe}$ entrent en jeu.
L'énergie mécanique $E_m$ : la somme des deux
L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de ses énergies potentielles. Elle représente l'énergie totale disponible pour le mouvement.
Son intérêt est là : dans certaines conditions, $E_m$ se conserve au cours du mouvement. Ce qui change, c'est la répartition entre $E_c$ et $E_{pp}$, mais leur somme reste constante. Un objet qui tombe convertit progressivement son énergie potentielle en énergie cinétique ; un objet qu'on lance vers le haut fait l'inverse.
| Énergie | Formule | Variables | Unité |
|---|---|---|---|
| Cinétique $E_c$ | $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ | $m$ : masse (kg), $v$ : vitesse (m/s) | J |
| Potentielle de pesanteur $E_{pp}$ | $E_{pp} = mgz$ | $g = 9{,}81\;\text{m/s}^2$, $z$ : altitude (m) | J |
| Potentielle élastique $E_{pe}$ | $E_{pe} = \dfrac{1}{2}kx^2$ | $k$ : raideur (N/m), $x$ : élongation (m) | J |
| Mécanique $E_m$ | $E_m = E_c + E_{pp}$ (+ $E_{pe}$ si ressort) | somme des énergies du système | J |
La conservation de l'énergie mécanique : quand l'appliquer
C'est le cœur du chapitre, et c'est là que les élèves se trompent le plus souvent.
L'énergie mécanique se conserve si et seulement si le système n'est soumis qu'à des forces conservatives, c'est-à-dire des forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi. En pratique, au bac, cela signifie : pas de frottements, pas de force motrice externe. Le poids et la force d'un ressort sont des forces conservatives. Les frottements ne le sont pas.
| Situation | Énergie mécanique | Ce qu'on écrit |
|---|---|---|
| Pas de frottements | Se conserve ($\Delta E_m = 0$) | $E_{m,A} = E_{m,B}$ |
| Avec frottements | Diminue ($\Delta E_m < 0$) | $\Delta E_m = W_{AB}(\vec{f})$ |
Quand $E_m$ se conserve, on peut écrire directement :
C'est l'équation de base pour calculer une vitesse à partir d'une hauteur, ou l'inverse.
Quand $E_m$ ne se conserve pas, c'est-à-dire en présence de frottements, on utilise le théorème de l'énergie cinétique à la place. La conservation de $E_m$ ne s'applique alors plus.
Le théorème de l'énergie cinétique : la démarche en 4 étapes
Quand les frottements sont présents, ou que l'énoncé demande de calculer la variation d'énergie cinétique, c'est ce théorème qu'on utilise.
Énoncé : la variation d'énergie cinétique d'un système entre A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures.
Démarche à rédiger sur la copie :
Identifier toutes les forces qui s'exercent sur le système (poids, réaction normale, frottements, tension…).
Calculer le travail de chacune. Le travail de la réaction normale est toujours nul (perpendiculaire au déplacement). Le travail du poids vaut $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B)$. Le travail des frottements vaut $W(\vec{f}) = -f \times AB$ (résistant, donc négatif).
Additionner tous les travaux.
Appliquer le théorème : $\Delta E_c = \sum W$.
Ce théorème s'applique toujours, avec ou sans frottements. La conservation de $E_m$ est un cas particulier où les seules forces qui travaillent sont conservatives.
Exemple résolu : un skieur sur une pente avec frottements
Énoncé. Un skieur de masse $m = 70\;\text{kg}$ descend une pente de longueur $L = 50\;\text{m}$, inclinée à $30°$ par rapport à l'horizontale. Il part du repos. La force de frottement vaut $f = 80\;\text{N}$. Calculer sa vitesse en bas de la pente.
Étape 1 : variation d'altitude.
$\Delta z = -L\sin(30°) = -50 \times 0{,}5 = -25\;\text{m}$, donc $z_A - z_B = 25\;\text{m}$.
Étape 2 : travaux des forces.
Poids : $W(\vec{P}) = mg(z_A - z_B) = 70 \times 9{,}81 \times 25 = 17\,168\;\text{J}$
Réaction normale : $W(\vec{R_n}) = 0$
Frottements : $W(\vec{f}) = -f \times L = -80 \times 50 = -4\,000\;\text{J}$
Étape 3 : application du théorème de l'énergie cinétique.
$$\Delta E_c = 17\,168 - 4\,000 = 13\,168\;\text{J}$$
Étape 4 : calcul de la vitesse.
Le skieur part du repos, donc $E_{c,A} = 0$.
$$\dfrac{1}{2}mv_B^2 = 13\,168 \implies v_B = \sqrt{\dfrac{2 \times 13\,168}{70}} = \sqrt{376{,}2} \approx \mathbf{19{,}4\;\text{m/s}}$$
Les deux pièges qui font perdre le plus de points
Piège 1 : appliquer la conservation de $E_m$ en présence de frottements. Les frottements dissipent de l'énergie sous forme de chaleur : l'énergie mécanique diminue. Écrire $E_{m,A} = E_{m,B}$ dans ce cas est une erreur de principe, même si les calculs qui suivent sont corrects. L'énoncé indique toujours si des frottements sont présents : c'est le premier élément à repérer.
Piège 2 : oublier de convertir la vitesse en m/s. $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ n'est valide qu'avec $v$ en m/s. Une vitesse donnée en km/h doit être convertie avant le calcul, en divisant par 3,6. À 90 km/h, on obtient 25 m/s, et non 90 dans la formule.