Les formules à connaître : récapitulatif
Avant d'entrer dans la méthode, voici les trois formules qui couvrent la quasi-totalité des exercices du chapitre. Elles sont courtes. Le vrai travail, c'est de savoir laquelle utiliser à quel moment.
| Formule | Nom | Ce qu'elle calcule | Unités |
|---|---|---|---|
| $\Delta U = m \cdot c \cdot \Delta T$ | Variation d'énergie interne | L'énergie absorbée ou perdue par un solide/liquide | J |
| $R_{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S}$ | Résistance thermique | L'opposition d'une paroi au passage de la chaleur | K·W-1 |
| $\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}}$ | Flux thermique | La puissance thermique échangée à travers une paroi | W |
La relation $\Delta U = W + Q$ (premier principe) s'ajoute à ces trois formules pour les exercices qui demandent un bilan d'énergie complet. Dans la plupart des cas au bac, $W = 0$ (système incompressible, pas de travail mécanique), donc $\Delta U = Q$.
Le premier principe et l'énergie interne
L'énergie interne $U$ est l'énergie stockée à l'échelle microscopique : agitation des molécules, interactions entre entités. Elle ne se confond pas avec l'énergie mécanique (cinétique, potentielle) : un verre d'eau posé immobile sur une table a une énergie mécanique nulle et une énergie interne non nulle.
Le premier principe dit que la variation d'énergie interne d'un système fermé au repos est égale à la somme des échanges d'énergie avec l'extérieur :
avec $W$ le travail reçu (énergie électrique, mécanique...) et $Q$ le transfert thermique reçu. La convention est : positif = reçu par le système, négatif = cédé.
Pour les solides et les liquides (systèmes incompressibles), le volume ne varie pas, donc $W = 0$. La variation d'énergie interne se réduit à :
avec $m$ la masse en kg, $c$ la capacité thermique massique en J·kg-1·K-1 (donnée dans l'énoncé), et $\Delta T = T_f - T_i$ en °C ou en K (les deux sont équivalents pour un écart de température).
Ce que le correcteur attend : si $\Delta U > 0$, conclure que le système a reçu de l'énergie et que son agitation microscopique a augmenté. Si $\Delta U < 0$, il a cédé de l'énergie.
Résistance thermique et flux : la méthode pour les parois
Les exercices sur l'isolation d'un bâtiment, le vitrage ou un chauffe-eau solaire mobilisent systématiquement la même paire de formules.
Calculer la résistance thermique de la paroi. $R_{th} = \dfrac{e}{\lambda \cdot S}$, avec $e$ l'épaisseur en m, $\lambda$ la conductivité thermique du matériau en W·m-1·K-1, et $S$ la surface en m². Plus $\lambda$ est faible, plus le matériau est isolant : la laine de verre ($\lambda \approx 0{,}04$) isole bien davantage que le béton ($\lambda \approx 1{,}75$).
Calculer le flux thermique. $\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}} = \dfrac{T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}}}{R_{th}}$. Le flux est une puissance (en watts) : il mesure la vitesse à laquelle la chaleur traverse la paroi.
Calculer l'énergie échangée sur une durée $\Delta t$. $Q = \Phi \cdot \Delta t$, avec $\Delta t$ en secondes et $Q$ en joules.
Cas des parois composites (couches successives). Quand une paroi est constituée de plusieurs matériaux superposés, les résistances thermiques s'additionnent, comme des résistances électriques en série :
L'analogie avec la loi d'Ohm est exacte : $\Delta T$ joue le rôle de la tension, $\Phi$ celui du courant, $R_{th}$ celui de la résistance électrique.
Exemple résolu : isolation d'un mur composite
Énoncé. Un mur de béton ($\lambda = 1{,}75$ W·m-1·K-1) d'épaisseur $e_1 = 20\;\text{cm}$ est recouvert d'une couche de laine de verre ($\lambda = 0{,}040$ W·m-1·K-1) d'épaisseur $e_2 = 10\;\text{cm}$. La surface totale est $S = 15\;\text{m}^2$. La température intérieure est $T_{int} = 20\;°C$ et la température extérieure $T_{ext} = 0\;°C$. Calculer le flux thermique perdu.
Résistance du béton :
$$R_{th,1} = \dfrac{0{,}20}{1{,}75 \times 15} = 7{,}6 \times 10^{-3}\;\text{K}\cdot\text{W}^{-1}$$
Résistance de la laine de verre :
$$R_{th,2} = \dfrac{0{,}10}{0{,}040 \times 15} = 0{,}167\;\text{K}\cdot\text{W}^{-1}$$
Résistance totale et flux :
$$R_{th} = 7{,}6 \times 10^{-3} + 0{,}167 \approx 0{,}175\;\text{K}\cdot\text{W}^{-1}$$
$$\Phi = \dfrac{20 - 0}{0{,}175} \approx \mathbf{114\;\text{W}}$$
Sans la couche isolante, $R_{th} = 7{,}6 \times 10^{-3}$ K·W-1 et le flux serait $\Phi \approx 2\,600\;\text{W}$. L'isolant divise les pertes par plus de 20.
Les 3 erreurs qui font perdre des points
Erreur 1 : oublier de convertir les unités. L'épaisseur doit être en mètres (pas en cm), la surface en m², la masse en kg. C'est l'erreur la plus fréquente, et elle fausse tous les calculs qui suivent. La vérification dimensionnelle à la fin de chaque calcul intermédiaire prend 10 secondes et évite la catastrophe.
Erreur 2 : utiliser $\Delta U = m \cdot c \cdot \Delta T$ pour un gaz. Cette formule s'applique aux solides et aux liquides (systèmes incompressibles). Pour un gaz, le volume varie, le travail $W$ n'est plus nul, et cette formule ne suffit plus. Au bac, si l'exercice parle d'un gaz, c'est le premier principe complet $\Delta U = W + Q$ qu'il faut mobiliser.
Erreur 3 : confondre $c$ et $C$. Si l'énoncé donne une capacité thermique $C$ en J·K-1 (propriété du système entier), on utilise $\Delta U = C \cdot \Delta T$. Si c'est une capacité thermique massique $c$ en J·kg-1·K-1 (propriété du matériau), on utilise $\Delta U = m \cdot c \cdot \Delta T$. Les deux sont reliés par $C = m \cdot c$, mais les confondre sur la copie coûte des points.