Le cadre du chapitre : ce qu'il faut avoir en tête
La mécanique des fluides au bac repose sur un modèle simplifié : le fluide parfait, incompressible, en régime permanent. Ces trois conditions sont presque toujours vérifiées implicitement dans les énoncés, inutile de les justifier à chaque fois, mais il faut savoir ce qu'elles signifient si la question est posée.
| Condition | Signification | En pratique |
|---|---|---|
| Fluide parfait | Viscosité négligeable (pas de frottements internes) | Eau, air dans les contextes de bac |
| Incompressible | Masse volumique $\rho$ constante | Tous les liquides ; les gaz à faible vitesse |
| Régime permanent | La vitesse en un point donné ne varie pas dans le temps | Écoulement stable, pas de turbulences |
Ces conditions sont les conditions d'application de la relation de Bernoulli. Dès qu'un exercice parle de fluide en mouvement dans une conduite, c'est ce cadre qui s'applique.
Formule 1 : la conservation du débit
C'est la première formule à mobiliser dans presque tous les exercices de mécanique des fluides. Elle précède Bernoulli, parce qu'elle permet de calculer des vitesses, et Bernoulli a besoin des vitesses.
Le débit volumique $D_V$ est le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps.
avec $S$ la section du conduit en m², $v$ la vitesse du fluide en m/s, et $D_V$ en m³/s.
Conservation du débit. Pour un fluide incompressible en régime permanent, le débit se conserve tout le long de la conduite. Si la section rétrécit, la vitesse augmente, et inversement.
C'est l'équation de continuité. Elle explique pourquoi l'eau sort plus vite quand on pince l'extrémité d'un tuyau d'arrosage, pourquoi le sang accélère dans une artère rétrécie, pourquoi l'air s'emballe dans le col d'un aérateur de robinet.
| Unité donnée | Conversion |
|---|---|
| 1 L | $10^{-3}\;\text{m}^3$ |
| 1 cm² | $10^{-4}\;\text{m}^2$ |
| 1 L/min | $\dfrac{1}{60} \times 10^{-3} \approx 1{,}67 \times 10^{-5}\;\text{m}^3/\text{s}$ |
Pour une section circulaire de diamètre $d$ : $S = \pi \left(\dfrac{d}{2}\right)^2$. Cela revient fréquemment quand l'énoncé donne le diamètre d'une artère ou d'une conduite.
Formule 2 : la relation de Bernoulli
Une fois les vitesses connues, Bernoulli permet de calculer des pressions, ou de justifier pourquoi une pression change quand une vitesse change.
Pour un fluide parfait, incompressible, en régime permanent, la somme suivante est constante le long d'une ligne de courant :
Pour deux points A et B d'une même ligne de courant :
| Terme | Nom | Ce qu'il représente | Unité |
|---|---|---|---|
| $P$ | Pression statique | Énergie potentielle des forces pressantes | Pa |
| $\frac{1}{2}\rho v^2$ | Pression dynamique | Énergie cinétique volumique | Pa |
| $\rho g z$ | Pression hydrostatique | Énergie potentielle de pesanteur volumique | Pa |
Cas courant : conduite horizontale. Quand les deux points sont à la même altitude ($z_A = z_B$), les termes $\rho g z$ se simplifient et Bernoulli se réduit à :
C'est l'effet Venturi : si la vitesse augmente (section rétrécie), la pression diminue. C'est ce phénomène qui est mobilisé dans les exercices sur les artères sténosées, les aérateurs de robinet, ou la portance d'une aile.
La formule de Torricelli. Un cas particulier de Bernoulli apparaît quand on calcule la vitesse de sortie d'un réservoir ouvert à l'atmosphère, avec une ouverture petite par rapport à la surface libre. En posant $v_{\text{surface}} \approx 0$, $P_A = P_B = P_{\text{atm}}$ et $z_A - z_B = h$ : $$v_{\text{sortie}} = \sqrt{2gh}$$ où $h$ est la hauteur de fluide au-dessus de l'orifice.
Formule 3 : la poussée d'Archimède
La poussée d'Archimède relève de la statique des fluides (fluide au repos), pas de la dynamique. Elle apparaît dans les exercices sur les dirigeables, les sous-marins, les poissons et leur vessie natatoire, les ballons-sondes.
Tout corps plongé dans un fluide subit une force verticale dirigée vers le haut, appelée poussée d'Archimède, dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé.
avec $\rho_{\text{fluide}}$ en kg/m³, $V_{\text{immergé}}$ en m³, $g = 9{,}81\;\text{m/s}^2$, et $\Pi$ en newtons.
Conditions de flottaison. Le comportement d'un objet dans un fluide dépend de la comparaison entre son poids $P = \rho_{\text{objet}} V g$ et la poussée $\Pi = \rho_{\text{fluide}} V g$.
| Situation | Condition | Résultat |
|---|---|---|
| L'objet coule | $\rho_{\text{objet}} > \rho_{\text{fluide}}$ | Poids supérieur à la poussée |
| L'objet est en équilibre | $\rho_{\text{objet}} = \rho_{\text{fluide}}$ | Poids égal à la poussée |
| L'objet flotte (ou monte) | $\rho_{\text{objet}} < \rho_{\text{fluide}}$ | Poussée supérieure au poids |
Pour un objet partiellement immergé (bateau, iceberg), l'équilibre impose que le poids total soit égal au poids du volume de fluide déplacé par la partie immergée seulement : $P_{\text{objet}} = \rho_{\text{fluide}} \times V_{\text{immergé}} \times g$.
La démarche type d'un exercice de bac
Les exercices de mécanique des fluides suivent presque toujours le même enchaînement. Voici l'ordre dans lequel mobiliser les outils.
Lire le débit, calculer les vitesses avec la conservation du débit. Si l'énoncé donne $D_V$ et deux sections $S_1$ et $S_2$, calculer $v_1 = D_V / S_1$ et $v_2 = D_V / S_2$. Attention aux conversions d'unités.
Calculer des pressions avec Bernoulli. Identifier les deux points à comparer. Vérifier si les altitudes sont égales (ce qui simplifie le calcul). Écrire l'équation de Bernoulli entre ces deux points, puis isoler l'inconnue.
Analyser la flottaison avec Archimède si le problème implique un objet immergé. Écrire le bilan des forces (poids, poussée, éventuelles autres forces). Poser l'équation d'équilibre si l'objet est statique.
Ces trois étapes couvrent la structure de la quasi-totalité des exercices de mécanique des fluides publiés ces dernières années.
Les trois pièges que les correcteurs voient le plus souvent
Piège 1 : oublier de convertir les unités avant de calculer. L'équation de Bernoulli exige des Pa, des kg/m³, des m/s et des mètres. Un débit donné en L/min et une section en cm² non convertis donnent un résultat faux, même si la démarche est juste. C'est l'erreur la plus fréquente et la plus coûteuse.
Piège 2 : appliquer Bernoulli à des points qui ne sont pas sur la même ligne de courant. La relation n'est valide qu'entre deux points que la même particule fluide peut atteindre. En pratique au bac, cela signifie : deux points dans la même conduite, sur le même trajet d'écoulement.
Piège 3 : confondre volume immergé et volume total pour Archimède. Si l'objet n'est qu'à moitié immergé, c'est le volume immergé qui entre dans le calcul, pas le volume total de l'objet. L'énoncé le précise généralement, mais il faut le lire attentivement.