La méthode en 3 étapes
Étape 1 : bilan des forces et deuxième loi de Newton
Un projectile en mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, sans frottements, n'est soumis qu'à une seule force : son poids $\vec{P} = m\vec{g}$.
On applique la deuxième loi de Newton :
L'accélération est constante, égale à $\vec{g}$, dirigée vers le bas. En projetant sur les axes (axe $x$ horizontal, axe $z$ vertical orienté vers le haut) :
Point de méthode : indiquer toujours le repère et l'orientation des axes sur la copie. C'est le premier élément que le correcteur vérifie.
Étape 2 : établir les équations horaires
On intègre les composantes de l'accélération pour obtenir la vitesse, puis on intègre à nouveau pour les coordonnées. Les constantes d'intégration sont les conditions initiales.
| Grandeur | Axe horizontal ($x$) | Axe vertical ($z$) |
|---|---|---|
| Accélération | $a_x = 0$ | $a_z = -g$ |
| Vitesse | $v_x(t) = v_0 \cos\alpha$ | $v_z(t) = -gt + v_0 \sin\alpha$ |
| Position | $x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t + x_0$ | $z(t) = -\dfrac{1}{2}gt^2 + v_0 \sin\alpha \cdot t + z_0$ |
avec $v_0$ la vitesse initiale, $\alpha$ l'angle de lancement par rapport à l'horizontale, et $(x_0, z_0)$ les coordonnées initiales du projectile.
Étape 3 : exploiter les équations
Une fois les équations établies, les questions posées se regroupent en trois catégories :
- Trouver la date ou la position d'un événement (impact au sol, passage à une hauteur donnée) : résoudre l'équation correspondante.
- Calculer la portée ou la hauteur maximale : la hauteur est maximale quand $v_z(t) = 0$ ; la portée est la valeur de $x$ quand $z = 0$.
- Bilan énergétique : calculer $E_c = \dfrac{1}{2}mv^2$ et $E_{pp} = mgh$ à différentes dates. Sans frottements, $E_m = E_c + E_{pp} = \text{cste}$.
Les 3 erreurs qui coûtent des points
Erreur 1 : inverser le signe de l'accélération gravitationnelle. $\vec{g}$ est dirigé vers le bas. Si l'axe $z$ est orienté vers le haut, alors $a_z = -g = -9{,}81\;\text{m/s}^2$. Écrire $a_z = +g$ produit une trajectoire qui monte indéfiniment. Vérifier toujours que les équations horaires donnent un $z$ qui décroît après le sommet.
Erreur 2 : oublier les conditions initiales. La constante d'intégration n'est pas toujours nulle. Si le projectile est lancé depuis une hauteur $z_0 \neq 0$ (falaise, bâtiment), il faut l'inclure dans l'équation. Un exercice qui place le lancement en hauteur teste précisément ce réflexe.
Erreur 3 : confondre $E_c$ et $E_{pp}$ sur les graphes. L'énergie cinétique est maximale en bas (vitesse maximale) ; l'énergie potentielle est maximale en haut (hauteur maximale). Les deux varient en sens opposés et leur somme est constante sans frottements. Un tableau de valeurs intermédiaires aide à ne pas se tromper sur la forme des courbes.
Application : exercice type
Un ballon est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 15\;\text{m/s}$ à $\alpha = 30°$ de l'horizontale. On néglige les frottements. On prend $g = 10\;\text{m/s}^2$.
Question 1 : établir les équations horaires.
Conditions initiales : $x_0 = 0$, $z_0 = 0$.
$$x(t) = 15\cos 30° \cdot t = 15 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot t \approx 13{,}0\,t$$
$$z(t) = -\dfrac{1}{2}\times 10 \times t^2 + 15\sin 30° \cdot t = -5t^2 + 7{,}5t$$
Question 2 : hauteur maximale.
$v_z(t) = 0 \implies -10t + 7{,}5 = 0 \implies t^* = 0{,}75\;\text{s}$
$$z_{\max} = -5 \times (0{,}75)^2 + 7{,}5 \times 0{,}75 = -2{,}81 + 5{,}63 = \mathbf{2{,}81\;\text{m}}$$
Question 3 : bilan énergétique au sommet ($m = 0{,}5\;\text{kg}$).
Au sommet, $v_z = 0$ donc $v = v_x = 13{,}0\;\text{m/s}$ :
$$E_c = \dfrac{1}{2} \times 0{,}5 \times (13{,}0)^2 = 42{,}3\;\text{J}$$
$$E_{pp} = 0{,}5 \times 10 \times 2{,}81 = 14{,}1\;\text{J} \qquad E_m = 56{,}4\;\text{J}$$
Vérification à $t = 0$ : $E_m = \frac{1}{2} \times 0{,}5 \times 15^2 = 56{,}3\;\text{J}$. Écart de 0,1 J dû aux arrondis : l'énergie mécanique est bien conservée.