Les 4 formes indéterminées à reconnaître
Avant de choisir une méthode, il faut identifier la forme indéterminée en présence.
| Forme | Situation | Exemple type |
|---|---|---|
| $\infty - \infty$ | Différence de deux suites qui tendent vers $+\infty$ | $n^2 - 3n$, $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ |
| $\dfrac{\infty}{\infty}$ | Quotient dont numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $\infty$ | $\dfrac{3n^2 + 1}{5n^2 - n}$ |
| $\dfrac{0}{0}$ | Quotient dont numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $0$ | $\dfrac{1 - q^n}{n}$ avec $|q| < 1$ |
| $0 \times \infty$ | Produit d'une suite tendant vers $0$ par une suite tendant vers $\infty$ | $n \cdot q^n$ avec $0 < q < 1$ |
Comment savoir si c'est une FI ? Calculer naïvement les limites de chaque morceau. Si le résultat est l'une des quatre formes ci-dessus, les règles des opérations ne s'appliquent pas : il faut transformer l'expression.
Méthode 1 : factoriser par le terme de plus haut degré
Quand l'utiliser : pour les FI de type $\infty - \infty$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ faisant intervenir des polynômes ou des expressions en puissances de $n$.
La logique : on met en facteur le terme qui "domine" (celui qui tend le plus vite vers l'infini). Tous les autres termes, divisés par ce terme dominant, tendent vers $0$, et l'indétermination disparaît.
Ordre de grandeur à retenir (du plus fort au plus faible) :
Exemple 1 — FI de type $\infty - \infty$ : calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (3n^2 - 4n + 1)$
Sans factorisation, on obtient $+\infty - \infty$ : forme indéterminée. On factorise par $n^2$ :
$$3n^2 - 4n + 1 = n^2\!\left(3 - \dfrac{4}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right)$$
Quand $n \to +\infty$ : $\dfrac{4}{n} \to 0$ et $\dfrac{1}{n^2} \to 0$, donc la parenthèse tend vers $3$. Par produit : $n^2 \times 3 \to +\infty$.
Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (3n^2 - 4n + 1) = +\infty$
Exemple 2 — FI de type $\dfrac{\infty}{\infty}$ : calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{5n^2 + 4}{4n^2 + 3n}$
On factorise $n^2$ au numérateur et au dénominateur :
$$\dfrac{5n^2 + 4}{4n^2 + 3n} = \dfrac{n^2\!\left(5 + \dfrac{4}{n^2}\right)}{n^2\!\left(4 + \dfrac{3}{n}\right)} = \dfrac{5 + \dfrac{4}{n^2}}{4 + \dfrac{3}{n}}$$
Quand $n \to +\infty$ : les fractions tendent vers $0$, et il reste $\dfrac{5}{4}$.
Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{5n^2 + 4}{4n^2 + 3n} = \dfrac{5}{4}$
Règle pratique pour un quotient de polynômes : la limite est toujours le rapport des coefficients des termes de plus haut degré. Cette règle ne dispense pas de rédiger la factorisation au bac, mais elle permet de vérifier le résultat en quelques secondes.
Méthode 2 : utiliser l'expression conjuguée
Quand l'utiliser : pour les FI de type $\infty - \infty$ où les deux termes sont des racines carrées.
La logique : on multiplie l'expression par son conjugué (même expression avec $+$ à la place du $-$). L'identité $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ supprime les racines au numérateur et transforme la différence en un quotient calculable.
Exemple : calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$
Naïvement : $+\infty - \infty$. On multiplie et divise par le conjugué $(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})$ :
$$\sqrt{n+2} - \sqrt{n} = \dfrac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \dfrac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \dfrac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$$
Quand $n \to +\infty$ : le numérateur vaut $2$ (constante), le dénominateur $\to +\infty$.
Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = 0$
Factorisation ou conjugué ? Si la racine est seule face à une puissance de $n$ (ex : $n - 3\sqrt{n}$), la factorisation par $n$ est souvent plus rapide. Si la soustraction oppose deux racines de force comparable (ex : $\sqrt{n+2} - \sqrt{n}$), le conjugué est la méthode adaptée.
Méthode 3 : théorème des gendarmes (limite finie)
Quand l'utiliser : quand la suite contient une fonction oscillante comme $\sin$ ou $\cos$, et que la limite semble être une valeur finie.
La logique : on encadre la suite entre deux suites qui convergent toutes les deux vers la même limite $L$. Par le théorème des gendarmes, la suite encadrée converge aussi vers $L$.
Structure de la rédaction :
Poser l'inégalité de départ (ex : $-1 \leq \sin(n) \leq 1$).
Transformer chaque membre pour faire apparaître la suite.
Calculer les limites des suites encadrantes.
Conclure explicitement : "D'après le théorème des gendarmes..."
Exemple : calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin(n)}{n}$
On part de $-1 \leq \sin(n) \leq 1$. Pour $n > 0$, on divise par $n$ (inégalité conservée) :
$$-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin(n)}{n} \leq \dfrac{1}{n}$$
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{n}\right) = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$.
D'après le théorème des gendarmes : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin(n)}{n} = 0$.
Méthode 4 : théorème de comparaison (limite infinie)
Quand l'utiliser : quand la suite contient une fonction oscillante, mais que la limite est clairement $+\infty$ ou $-\infty$.
La logique : il suffit de trouver une seule inégalité : une suite minorante qui tend elle-même vers $+\infty$ (ou majorante vers $-\infty$). On n'a pas besoin d'encadrer des deux côtés.
Exemple : calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n^2 + \cos(n))$
On sait que $\cos(n) \geq -1$ pour tout $n$, donc :
$$n^2 + \cos(n) \geq n^2 - 1$$
Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n^2 - 1) = +\infty$.
D'après le théorème de comparaison : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (n^2 + \cos(n)) = +\infty$.
Tableau de synthèse
| Forme indéterminée | Type d'expression | Méthode à utiliser |
|---|---|---|
| $\infty - \infty$ | Polynômes ou puissances de $n$ | Factorisation par le terme dominant |
| $\dfrac{\infty}{\infty}$ | Quotient de polynômes | Factorisation par le terme dominant |
| $\infty - \infty$ | Soustraction de racines carrées | Expression conjuguée |
| Limite finie suspectée | Avec $\sin(n)$ ou $\cos(n)$ | Théorème des gendarmes |
| Limite infinie suspectée | Avec $\sin(n)$ ou $\cos(n)$ | Théorème de comparaison |
Les 3 pièges classiques
Piège 1 : ne pas nommer le théorème. Écrire "donc la limite est 0" sans citer le théorème des gendarmes ne rapporte pas les points de rédaction. La conclusion doit être explicite : "D'après le théorème des gendarmes..."
Piège 2 : diviser par $n$ sans préciser que $n > 0$. Quand on divise une inégalité par $n$, il faut préciser que $n > 0$ (ce qui est toujours le cas quand $n \to +\infty$, mais le mentionner est attendu en rédaction).
Piège 3 : factoriser seulement au numérateur. Pour une FI $\dfrac{\infty}{\infty}$, on factorise par le terme dominant du numérateur et du dénominateur, puis on simplifie. Factoriser seulement l'un des deux ne lève pas l'indétermination.