Ce que modélise la loi binomiale
La loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ s'applique quand on répète $n$ fois, de manière identique et indépendante, une épreuve qui n'a que deux issues : un succès (probabilité $p$) ou un échec (probabilité $1 - p$). La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès obtenus.
Pour que la loi binomiale s'applique, trois conditions doivent être réunies et citées dans la copie :
Les $n$ répétitions sont indépendantes : le résultat d'un essai n'influence pas le suivant.
Les $n$ répétitions sont identiques : la probabilité $p$ est la même à chaque essai.
$X$ compte le nombre de succès parmi les $n$ répétitions.
La phrase type à écrire au bac : "On répète $n$ fois, de manière identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès est [définir le succès] de probabilité $p$. La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit donc la loi $\mathcal{B}(n, p)$."
La formule de base : $P(X = k)$
Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ :
| Composante | Ce qu'elle représente |
|---|---|
| $\binom{n}{k}$ | Nombre de chemins menant à exactement $k$ succès parmi $n$ essais |
| $p^k$ | Probabilité d'obtenir les $k$ succès |
| $(1-p)^{n-k}$ | Probabilité d'obtenir les $n - k$ échecs restants |
Comment calculer $\binom{n}{k}$ : avec la calculatrice (touche "nCr" ou menu combinaison), ou avec la formule $\displaystyle\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. Les cas simples à connaître par coeur : $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{1} = n$, $\binom{n}{n} = 1$.
Exemple. On tire 5 cartes avec remise dans un jeu de 52. Le succès est "tirer un coeur" ($p = 1/4$). Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 coeurs.
$$P(X = 2) = \binom{5}{2} \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} \approx 0{,}264$$
Traduire l'énoncé : le tableau de référence
C'est l'étape qui fait perdre le plus de points. L'énoncé utilise du langage naturel ; il faut le convertir en écriture mathématique avant de calculer quoi que ce soit.
| Formulation de l'énoncé | Traduction mathématique | Méthode |
|---|---|---|
| Exactement $k$ succès | $P(X = k)$ | Formule directe |
| Au moins $k$ succès | $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ | Événement contraire |
| Au plus $k$ succès | $P(X \leq k)$ | Somme ou calculatrice |
| Strictement plus de $k$ succès | $P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$ | Événement contraire |
| Strictement moins de $k$ succès | $P(X < k) = P(X \leq k-1)$ | Somme ou calculatrice |
| Au moins un succès | $P(X \geq 1) = 1 - (1-p)^n$ | Événement contraire |
Règle d'or : dès que l'énoncé dit "au moins" ou "strictement plus de", passer par l'événement contraire. Cela transforme une somme potentiellement longue en un seul calcul.
Calculer $P(X \geq k)$ : l'événement contraire
L'événement "au moins $k$ succès" est le contraire de "au plus $k-1$ succès" :
Le cas le plus fréquent au bac est "au moins un succès" ($k = 1$) :
Car $P(X = 0) = \binom{n}{0} \times p^0 \times (1-p)^n = (1-p)^n$.
Exemple. Un candidat répond au hasard à un QCM de 8 questions, chacune avec 4 propositions dont une seule est juste ($p = 1/4$). Calculer la probabilité qu'il ait au moins une bonne réponse.
$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^8 = 1 - \frac{6561}{65536} \approx 0{,}900$$
Il y a environ 90 % de chances qu'il ait au moins une bonne réponse.
Calculer $P(X \leq k)$ : somme et calculatrice
"Au plus $k$ succès" signifie : 0 succès, ou 1 succès, ..., ou $k$ succès :
Quand $k$ est petit (0, 1 ou 2), le calcul à la main est rapide. Quand $k$ est plus grand, on utilise la calculatrice.
Sur calculatrice
| Calculatrice | $P(X = k)$ | $P(X \leq k)$ |
|---|---|---|
| TI (français) | binomFDP(n ; p ; k) | binomFRép(n ; p ; k) |
| Casio / TI (anglais) | binompdf(n, p, k) | binomcdf(n, p, k) |
Exemple. Dans une usine, 15 % des pièces produites sont défectueuses. On prélève 10 pièces. Calculer la probabilité qu'au plus 2 pièces soient défectueuses.
$$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$
$$= (0{,}85)^{10} + 10 \times 0{,}15 \times (0{,}85)^9 + 45 \times (0{,}15)^2 \times (0{,}85)^8 \approx 0{,}820$$
Avec la calculatrice : binomFRép(10 ; 0,15 ; 2) donne directement $\approx 0{,}820$.
Espérance et variance
| Indicateur | Formule | Ce qu'il représente |
|---|---|---|
| Espérance | $E(X) = np$ | Nombre moyen de succès attendu |
| Variance | $V(X) = np(1-p)$ | Dispersion autour de la moyenne |
| Écart-type | $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$ | Utilisé avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev |
Exemple. Si on lance 60 fois un dé et que le succès est "obtenir un 6", alors $E(X) = 60 \times \dfrac{1}{6} = 10$ : on espère obtenir 10 fois le chiffre 6 en moyenne.
Les 4 pièges classiques au bac
Piège 1 : Ne pas vérifier les conditions avant d'écrire $X \sim \mathcal{B}(n,p)$. Justifier qu'on est dans un schéma de Bernoulli est obligatoire. Sans la phrase type, on perd des points de rédaction même si le calcul est juste.
Piège 2 : Confondre $P(X \geq k)$ et $P(X > k)$. Ces deux expressions ne sont pas équivalentes. $P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 1)$, tandis que $P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)$. L'écart est toujours d'un rang.
Piège 3 : Oublier que "strictement moins de 3" équivaut à "au plus 2". En loi binomiale, $X$ ne prend que des valeurs entières. Donc $P(X < 3) = P(X \leq 2)$. Ce glissement de formulation est fréquent dans les énoncés.
Piège 4 : Mal saisir les paramètres dans la calculatrice. L'ordre des paramètres est toujours $(n, p, k)$. Inverser $p$ et $k$ produit un résultat faux sans message d'erreur. Vérifier que le résultat est compris entre 0 et 1.
Trouver le plus petit $n$ vérifiant une inégalité de probabilité
Ce type de question demande de résoudre une inéquation du type $P(X \geq 1) \geq 0{,}99$.
On résout par logarithme :
Attention au sens de l'inégalité : diviser par $\ln(1-p)$, qui est négatif, inverse le signe. On peut aussi résoudre par tableau de valeurs à la calculatrice en testant des valeurs successives de $n$.