Les deux règles qui gouvernent l'arbre
Un arbre de probabilités est constitué de noeuds, de branches et de feuilles. Deux règles suffisent à comprendre et à corriger n'importe quel arbre.
Règle 1 : la somme des branches issues d'un même noeud vaut toujours 1
Si $P(A) = 0{,}7$, alors la branche complémentaire porte $P(\bar{A}) = 0{,}3$. Cette règle s'applique à tous les niveaux, y compris pour les probabilités conditionnelles : $P_A(B) + P_A(\bar{B}) = 1$.
Règle 2 : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches
Un chemin qui passe successivement par $A$ puis $B$ a pour probabilité :
C'est la règle du produit. Elle découle directement de la définition de la probabilité conditionnelle.
Ce que portent les branches : la distinction essentielle
La distinction entre branches du premier niveau et branches du second niveau est systématiquement mal comprise et régulièrement sanctionnée au bac.
| Niveau de la branche | Ce qu'elle porte | Exemple |
|---|---|---|
| Branches primaires (depuis la racine) | Probabilités simples | $P(A)$, $P(\bar{A})$ |
| Branches secondaires (depuis un noeud) | Probabilités conditionnelles | $P_A(B)$, $P_{\bar{A}}(B)$ |
| Feuilles (extrémités) | Intersections (produit du chemin) | $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ |
Toute branche du second niveau est une probabilité conditionnelle. Ce n'est pas une probabilité simple habillée différemment. Confondre les deux est le piège le plus classique de ce chapitre.
Les trois calculs incontournables
1. La probabilité d'une intersection : lire un chemin
Pour obtenir $P(A \cap B)$, on multiplie les probabilités des branches du chemin correspondant. C'est la règle du produit.
2. La formule des probabilités totales : additionner les chemins
Quand un événement $B$ apparaît à l'extrémité de plusieurs chemins, sa probabilité globale est la somme de tous ces chemins. Si $A$ et $\bar{A}$ forment une partition de l'univers :
Cette formule est demandée dans la quasi-totalité des exercices de probabilités du bac. Il faut la nommer explicitement dans la copie.
3. La probabilité conditionnelle inversée
C'est la question qui fait perdre le plus de points. L'arbre a été construit dans un sens (cause à effet), et l'énoncé demande la probabilité dans le sens inverse (effet à cause) : par exemple, $P_B(A)$ alors que l'arbre donne $P_A(B)$.
La méthode en 3 étapes :
Poser la formule. $$P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Calculer le numérateur en lisant le chemin correspondant dans l'arbre (règle du produit).
Calculer le dénominateur via la formule des probabilités totales. Puis diviser.
La rédaction doit être explicite : citez les formules par leur nom, posez les calculs intermédiaires. Un résultat juste sans justification ne rapporte pas les points de rédaction.
Exemple résolu : contrôle qualité en usine
Une usine fabrique des pièces sur deux lignes de production. La ligne A produit 60 % des pièces, la ligne B produit les 40 % restants. Le taux de pièces défectueuses est de 4 % sur la ligne A et de 10 % sur la ligne B. On choisit une pièce au hasard dans la production.
On définit : $A$ = "la pièce vient de la ligne A", $B$ = "la pièce vient de la ligne B", $D$ = "la pièce est défectueuse", $\bar{D}$ = "la pièce est conforme".
Construction de l'arbre
Branches primaires : $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}4$. Branches secondaires : $P_A(D) = 0{,}04$, $P_A(\bar{D}) = 0{,}96$, $P_B(D) = 0{,}10$, $P_B(\bar{D}) = 0{,}90$.
| Chemin | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| $A \cap D$ | $0{,}6 \times 0{,}04$ | $0{,}024$ |
| $A \cap \bar{D}$ | $0{,}6 \times 0{,}96$ | $0{,}576$ |
| $B \cap D$ | $0{,}4 \times 0{,}10$ | $0{,}040$ |
| $B \cap \bar{D}$ | $0{,}4 \times 0{,}90$ | $0{,}360$ |
Vérification : $0{,}024 + 0{,}576 + 0{,}040 + 0{,}360 = 1$. Correct.
Calculer $P(D)$ : formule des probabilités totales
L'événement $D$ apparaît au bout de deux chemins ($A \cap D$ et $B \cap D$). Les événements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
La pièce tirée au hasard a une probabilité de 6,4 % d'être défectueuse.
Calculer $P_D(B)$ : probabilité conditionnelle inversée
On cherche la probabilité que la pièce vienne de la ligne B, sachant qu'elle est défectueuse. L'arbre a été construit dans le sens ligne à défaut ; on veut l'inverse.
Parmi les pièces défectueuses, 62,5 % proviennent de la ligne B, alors que cette ligne ne représente que 40 % de la production. Un taux de défaut plus élevé sur B compense son volume de production plus faible : c'est le résultat contre-intuitif que le bac cherche à faire interpréter.
Lien avec la loi binomiale
Quand une épreuve de Bernoulli est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, l'arbre devient impraticable (trop de branches). On passe alors à la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.
Pour justifier le passage à la loi binomiale, il faut vérifier explicitement dans la copie :
- les $n$ répétitions sont indépendantes ;
- chaque épreuve a deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$) ;
- $p$ est identique à chaque répétition.
Les 4 pièges classiques
Piège 1 : Inscrire une probabilité simple sur une branche secondaire. Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles, toujours. Écrire $P(B)$ à la place de $P_A(B)$ est une erreur conceptuelle.
Piège 2 : Ne pas nommer les formules. "Par la formule des probabilités totales" et "Par la formule des probabilités conditionnelles" doivent apparaître dans la copie. Sans ça, on perd des points de rédaction même avec le bon résultat.
Piège 3 : Oublier de vérifier la cohérence. Toute probabilité est comprise entre 0 et 1. Si le résultat ne l'est pas, il y a une erreur quelque part. La somme de toutes les feuilles doit également valoir 1.
Piège 4 : Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$. Ce sont deux probabilités différentes. $P_A(B)$ est la probabilité de $B$ sachant $A$. $P_B(A)$ est la probabilité de $A$ sachant $B$. L'une se lit dans l'arbre, l'autre se calcule avec la formule de Bayes.