Démonstrations exigibles au bac de maths : la liste complète et comment les apprendre

Ce que dit officiellement le programme

Le bulletin officiel est explicite : démontrer est "une composante fondamentale de l'activité mathématique". Le programme propose des démonstrations qu'il qualifie d'"exemplaires", à découvrir selon des modalités variées.

Trois points méritent d'être clarifiés.

Ces démonstrations sont obligatoires, contrairement aux approfondissements possibles que le programme distingue clairement comme facultatifs. Elles sont évaluables au bac : les élèves sont évalués selon les capacités attendues, et les démonstrations figurent au même titre que les contenus dans chaque section. Elles préparent aussi le Grand oral : une démonstration bien comprise fournit une matière sérieuse pour l'épreuve orale terminale.

La liste complète des 18 démonstrations exigibles

Algèbre et géométrie (4 démonstrations)

Chapitre	Démonstration
Combinatoire et dénombrement	Démonstration par dénombrement de la formule $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$
Combinatoire et dénombrement	Démonstrations de la relation de Pascal (par le calcul et par méthode combinatoire)
Orthogonalité dans l'espace	Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan est le point du plan le plus proche de M
Représentations paramétriques	Équation cartésienne d'un plan normal à un vecteur $\vec{n}$ et passant par un point A

Analyse — Suites et limites (5 démonstrations)

Chapitre	Démonstration
Suites	Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$
Suites	Limite de $(q^n)$, après démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli
Suites	Divergence vers $+\infty$ d'une suite minorée par une suite divergeant vers $+\infty$
Suites	Limite en $+\infty$ et en $-\infty$ de la fonction exponentielle
Limites de fonctions	Croissance comparée de $x \mapsto x^n$ et $\exp$ en $+\infty$

Analyse — Dérivation et fonctions (3 démonstrations)

Chapitre	Démonstration
Compléments sur la dérivation	Si $f''$ est positive, alors la courbe de $f$ est au-dessus de ses tangentes
Fonction logarithme	Calcul de la dérivée de $\ln$ (la dérivabilité étant admise)
Fonction logarithme	Limite en 0 de $x \mapsto x\ln(x)$

Analyse — Primitives, intégrales, équations différentielles (4 démonstrations)

Chapitre	Démonstration
Primitives	Deux primitives d'une même fonction continue diffèrent d'une constante
Équations différentielles	Résolution de l'équation différentielle $y' = ay$
Calcul intégral	Pour $f$ positive croissante sur $[a,b]$, $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de $f$, et $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Calcul intégral	Intégration par parties

Probabilités (2 démonstrations)

Chapitre	Démonstration
Schéma de Bernoulli	Expression de la probabilité de $k$ succès dans le schéma de Bernoulli
Sommes de variables aléatoires	Espérance et variance de la loi binomiale

La structure type d'une démonstration de bac

Avant de mémoriser une démonstration, il faut comprendre comment elle est construite. Une démonstration de bac suit presque toujours le même squelette en quatre temps.

Comment apprendre les 18 démonstrations sans s'épuiser

1. Trier par familles, pas par chapitres

Plusieurs démonstrations utilisent la même méthode. Il est plus efficace de les apprendre ensemble. Trois grandes familles dominent le programme :

Famille	Logique commune	Démonstrations concernées
Récurrence	Initialisation, hérédité, conclusion	Inégalité de Bernoulli ; limite de $(q^n)$ ; divergence d'une suite minorée par une suite divergeant vers $+\infty$ ; toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$
Calcul direct	Chaîne d'égalités ou d'équivalences justifiées étape par étape	Dérivée de $\ln$ ; limite en 0 de $x \mapsto x\ln(x)$ ; résolution de $y' = ay$ ; deux primitives diffèrent d'une constante ; équation cartésienne d'un plan ; intégration par parties ; courbe au-dessus de ses tangentes ; croissance comparée de $x^n$ et $\exp$ ; limites de $\exp$ en $\pm\infty$ ; projeté orthogonal le plus proche ; lien primitive-intégrale
Dénombrement et probabilités	Comptage d'objets, propriété multiplicative, logique combinatoire	Formule $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$ ; relation de Pascal (calcul et combinatoire) ; probabilité de $k$ succès dans le schéma de Bernoulli ; espérance et variance de la loi binomiale

2. Reconstruire avant de réciter

Pour chaque démonstration, l'objectif n'est pas de la lire dix fois, mais de la reconstruire sur une feuille blanche, à partir de l'énoncé seul. Cette méthode oblige à comprendre l'enchaînement. Si vous bloquez, regardez la solution, fermez le cahier, et recommencez. Une démonstration est sue quand vous pouvez la rédiger trois jours d'affilée sans rien consulter.

3. Espacer les révisions

L'apprentissage massif la veille du bac ne fonctionne pas pour les démonstrations. La méthode des révisions espacées est plus efficace : revoir une démonstration à J+1, J+3, J+7, puis J+15. À chaque révision, le temps nécessaire diminue. Sur 18 démonstrations, en travaillant 3 par semaine en cycle mars-mai, l'objectif est tenable.

4. Identifier les points sensibles

Certaines démonstrations comportent un passage technique qui fait basculer la note. Pour la limite de $(q^n)$, c'est l'inégalité de Bernoulli en amont. Pour la dérivée de $\ln$, c'est la définition par fonction réciproque. Pour la croissance comparée, c'est le choix d'un entier suffisamment grand. Repérer ces points sensibles et s'y entraîner spécifiquement sécurise la note bien plus que de relire la démonstration entière.

5. Tester en conditions réelles

À J-30 du bac, prendre une démonstration au hasard, fermer le cours, et la rédiger sur copie en 15 minutes maximum. Cette épreuve isolée révèle à la fois ce qui est acquis et ce qui ne l'est pas. C'est le seul vrai indicateur de préparation.

Les 3 pièges classiques à éviter

Démonstrations et Grand oral

Une démonstration du programme peut servir de point de départ pour un sujet de Grand oral. Trois exemples se prêtent particulièrement à l'exercice.

La récurrence permet d'aborder la question "Pourquoi la démonstration par récurrence permet-elle de prouver des propriétés sur les entiers ?". C'est un sujet apprécié des jurys, qui mobilise une notion classique tout en laissant la place à un regard plus large sur l'infini en mathématiques.

La loi binomiale ouvre sur le sujet "Comment la loi binomiale permet-elle d'évaluer un test statistique en sciences ?". Le lien avec la biologie, la médecine ou les sondages donne un ancrage concret.

L'intégration par parties peut nourrir un sujet sur la modélisation, en montrant comment cette technique permet de calculer des intégrales qui apparaissent naturellement en physique ou en économie.