Ce qu'il faut savoir sur les noyaux
Un noyau atomique est caractérisé par deux nombres :
- $Z$, le numéro atomique = nombre de protons
- $A$, le nombre de masse = nombre de nucléons (protons + neutrons)
- $N = A - Z$, le nombre de neutrons
On note un noyau ${}^A_Z\text{X}$, où X est le symbole de l'élément. Deux noyaux sont isotopes s'ils ont le même Z mais des valeurs de A différentes : même élément chimique, nombre de neutrons différent. Le carbone 12 (${}^{12}_{6}\text{C}$), le carbone 13 (${}^{13}_{6}\text{C}$) et le carbone 14 (${}^{14}_{6}\text{C}$) sont trois isotopes du même élément.
Les noyaux instables, situés en dehors de la vallée de la stabilité sur le diagramme (N, Z), cherchent à l'atteindre par désintégration spontanée. C'est ce phénomène qu'on appelle la radioactivité.
Les équations de désintégration
Toute désintégration respecte deux lois de conservation, appelées lois de Soddy : conservation du nombre de masse A et conservation du nombre de charge Z.
| Type | Particule émise | Variation de Z | Variation de A | Contexte |
|---|---|---|---|---|
| Alpha (α) | Noyau d'hélium ${}^4_2\text{He}$ | −2 | −4 | Noyaux très lourds (Z > 82) |
| Bêta moins (β⁻) | Électron ${}^0_{-1}\text{e}$ | +1 | 0 | Au-dessus de la vallée (excès de neutrons) |
| Bêta plus (β⁺) | Positon ${}^0_{+1}\text{e}$ | −1 | 0 | En dessous de la vallée (excès de protons) |
Méthode pour identifier le type à partir du diagramme (N, Z) :
Repérer la position du noyau par rapport à la vallée de la stabilité.
Au-dessus de la vallée (excès de neutrons) : désintégration β⁻ (un neutron se transforme en proton).
En dessous de la vallée (excès de protons) : désintégration β⁺.
Noyau très lourd (Z > 82 typiquement) : désintégration α.
Exemple d'équation de désintégration α :
$${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{234}_{90}\text{Th} + {}^4_2\text{He}$$
Vérification : $A = 238 = 234 + 4$ ✓ et $Z = 92 = 90 + 2$ ✓
La loi de décroissance radioactive
La radioactivité est un phénomène spontané et aléatoire à l'échelle d'un noyau isolé. Pour une population macroscopique, le comportement suit une loi exponentielle décroissante.
Les quatre formules à maîtriser
| Formule | Ce qu'elle calcule | Unités |
|---|---|---|
| $N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}$ | Nombre de noyaux radioactifs restants à l'instant $t$ | sans unité |
| $A(t) = \lambda \times N(t)$ | Activité : nombre de désintégrations par seconde | Becquerel (Bq) |
| $A(t) = A_0 \times e^{-\lambda t}$ | Évolution de l'activité au cours du temps | Bq |
| $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ | Demi-vie : durée pour que N soit divisé par 2 | s, min, an selon le contexte |
Définitions clés :
- $N_0$ : nombre de noyaux radioactifs à $t = 0$
- $\lambda$ : constante radioactive, propre à chaque isotope (en s⁻¹)
- $t_{1/2}$ : demi-vie ou période radioactive, caractéristique constante d'un noyau, indépendante de la quantité initiale
La démonstration de $t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$ (souvent demandée)
Par définition, à $t = t_{1/2}$, il reste exactement $N_0 / 2$ noyaux. En substituant dans la loi de décroissance :
On prend le logarithme népérien des deux membres :
Propriété pratique : après $n$ demi-vies, il reste $N_0 / 2^n$ noyaux. Après 10 demi-vies, l'échantillon est considéré comme pratiquement inactif.
Les 3 types de questions du bac
Type 1 : identifier une désintégration et compléter une équation
On donne un noyau père et on demande d'identifier le type de désintégration (à partir du diagramme N-Z ou d'un contexte) puis d'écrire l'équation complète. La méthode : appliquer les lois de Soddy pour déterminer les nombres A et Z du noyau fils, puis identifier l'élément correspondant dans le tableau périodique.
Type 2 : calculer une activité ou un nombre de noyaux
On donne $\lambda$ (ou $t_{1/2}$) et $N_0$ (ou $A_0$), et on demande $N(t)$ ou $A(t)$ à un instant donné. La méthode : vérifier la cohérence des unités. Si $t_{1/2}$ est en années et $t$ en secondes, il faut convertir avant d'appliquer la loi.
Type 3 : dater un échantillon
On mesure l'activité actuelle $A(t)$ et on connaît l'activité initiale $A_0$. On cherche $t$ :
Le choix de l'isotope dépend de l'ordre de grandeur de l'âge estimé : la demi-vie doit être du même ordre de grandeur que l'âge à mesurer. Le carbone 14 ($t_{1/2} \approx 5\,730$ ans) est adapté à l'archéologie ; le potassium 40 ($t_{1/2} \approx 1{,}2$ milliard d'années) aux roches géologiques.
Pièges classiques
Piège 1 : confondre $\lambda$ et $t_{1/2}$. Ces deux grandeurs sont liées par $t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$, mais ne sont pas interchangeables dans les formules. Toujours utiliser $\lambda$ dans les exponentielles et $t_{1/2}$ pour les propriétés pratiques (nombre de demi-vies écoulées).
Piège 2 : oublier de convertir les unités de temps. Si $t_{1/2}$ est en années et $t$ en secondes (ou vice-versa), le résultat est faux. Tout convertir dans la même unité avant de calculer.
Piège 3 : confondre $N(t)$ et $A(t)$. $N(t)$ est un nombre de noyaux (sans unité). $A(t)$ est une activité en Becquerel (désintégrations par seconde). Les deux suivent la même loi exponentielle, mais les grandeurs initiales $N_0$ et $A_0$ doivent être cohérentes avec ce qu'on cherche.