Les trois lois : ce que l'on doit savoir énoncer
Les correcteurs attendent des énoncés précis. Une formulation approximative, même si la suite du calcul est juste, peut coûter 1 à 2 points sur les questions d'ouverture, qui sont par ailleurs les plus accessibles de l'exercice.
Première loi : loi des orbites. Dans le référentiel héliocentrique (supposé galiléen), la trajectoire de chaque planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.
Deuxième loi : loi des aires. Le segment reliant le centre du Soleil au centre de la planète (rayon vecteur) balaie des aires égales pendant des durées égales. Conséquence directe : la vitesse d'une planète est maximale au périhélie (point le plus proche du Soleil) et minimale à l'aphélie (point le plus éloigné).
Troisième loi : loi des périodes. Le carré de la période de révolution $T$ est proportionnel au cube du demi-grand axe $a$ de l'orbite :
Cette constante $K$ ne dépend pas de la masse du corps en orbite. Elle dépend uniquement de la masse de l'astre attracteur $M$. Si l'astre central change (système solaire vs système d'exoplanètes), la constante change.
Démonstration de la 3e loi dans le cas circulaire
C'est la démonstration la plus fréquemment demandée au bac. Elle suit toujours les mêmes cinq étapes.
Cadre d'étude. Système : corps de masse $m$ (planète ou satellite). Référentiel : astrocentrique, supposé galiléen. Hypothèse : trajectoire circulaire de rayon $r$. Force unique : gravitation $\vec{F} = G\dfrac{Mm}{r^2}\vec{n}$ dirigée vers le centre.
Newton dans le repère de Frenet. L'accélération s'écrit $\vec{a} = \dfrac{dv}{dt}\vec{t} + \dfrac{v^2}{r}\vec{n}$. La gravitation est purement radiale (aucune composante tangentielle). Sur l'axe tangentiel : $m\dfrac{dv}{dt} = 0$, donc $v$ est constante. Le mouvement est circulaire uniforme.
Vitesse orbitale. Sur l'axe normal, on égalise force gravitationnelle et terme centripète : $m\dfrac{v^2}{r} = G\dfrac{Mm}{r^2}$. On simplifie par $m$ et par $r$ :
$$\boxed{v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}}$$
Expression de la période. La période $T$ est le temps pour parcourir la circonférence $2\pi r$ à vitesse $v$ :
$$T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi r}{\sqrt{GM/r}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$$
Troisième loi de Kepler. En élevant $T$ au carré :
$$\boxed{\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}}$$
Ce rapport est bien une constante qui ne dépend que de $G$ et de $M$, la masse de l'astre central.
Formules à connaître par coeur
| Grandeur | Formule | Unités |
|---|---|---|
| Vitesse orbitale | $v = \sqrt{GM/r}$ | m/s |
| Période de révolution | $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ | s |
| Constante de Kepler | $K = T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ | s²/m³ |
| Constante gravitationnelle | $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg² | donnée au bac |
Cas particulier : le satellite géostationnaire
C'est un classique du bac, présent dans la grande majorité des exercices sur les satellites. Un satellite géostationnaire est immobile par rapport à un point fixe de l'équateur terrestre. Pour cela, trois conditions doivent être simultanément satisfaites :
- Sa période de révolution est égale à la période de rotation de la Terre, soit le jour sidéral : $T = 23\,\text{h}\,56\,\text{min}\,04\,\text{s} \approx 86\,164\,\text{s}$
- Son orbite est circulaire dans le plan équatorial
- Il tourne dans le même sens que la Terre
En appliquant la 3e loi de Kepler avec $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\;\text{kg}$ et $T = 86\,164\;\text{s}$ :
L'altitude est obtenue en soustrayant le rayon terrestre $R_T = 6\,370\;\text{km}$ :
Cette valeur d'environ 36 000 km est à connaître : certains exercices la donnent, d'autres demandent de la retrouver par le calcul.
Exercice type : altitude d'un satellite d'observation
Énoncé. Un satellite d'observation est en orbite circulaire autour de la Terre. Sa période de révolution est $T = 1\,\text{h}\,32\,\text{min}$. Calculer son altitude. Données : $M_T = 5{,}97 \times 10^{24}\;\text{kg}$, $G = 6{,}67 \times 10^{-11}\;\text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$, $R_T = 6{,}37 \times 10^6\;\text{m}$.
Conversion de la période : $T = 1 \times 3600 + 32 \times 60 = 5520\;\text{s}$
Application de la 3e loi :
$$r^3 = \dfrac{GM_T T^2}{4\pi^2} = \dfrac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}97 \times 10^{24} \times 5520^2}{4\pi^2} \approx 3{,}07 \times 10^{20}\;\text{m}^3$$
$$r = (3{,}07 \times 10^{20})^{1/3} \approx 6{,}75 \times 10^6\;\text{m}$$
Altitude :
$$h = r - R_T = 6{,}75 \times 10^6 - 6{,}37 \times 10^6 = 3{,}8 \times 10^5\;\text{m} \approx \mathbf{380\;\text{km}}$$
Ce résultat est cohérent avec l'altitude de l'ISS (environ 400 km), ce qui valide l'ordre de grandeur.
Les trois erreurs qui coûtent le plus de points
Erreur 1 : utiliser $T$ en heures ou en jours. La formule $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ n'est valide qu'avec $T$ en secondes et $r$ en mètres. Utiliser des unités astronomiques (ua) ou des jours sans conversion produit des résultats faux d'un facteur de plusieurs puissances de dix. Convertissez toujours avant de calculer.
Erreur 2 : croire que la constante de Kepler est universelle. Elle est constante pour un astre attracteur donné, pas pour tous les systèmes. La constante autour du Soleil est différente de la constante autour de la Terre. Si un exercice mélange les deux systèmes, il faut utiliser deux constantes distinctes.
Erreur 3 : oublier de définir le système et le référentiel. La démonstration sans ces précisions perd 1 à 2 points, même si les calculs sont corrects. Le correcteur vérifie systématiquement ces éléments en début de question. Trois lignes suffisent : système, référentiel, bilan des forces.