Ce qu'est la diffraction (et pourquoi c'est une preuve ondulatoire)
Une onde se diffracte lorsqu'elle traverse une ouverture ou contourne un obstacle dont la taille est comparable à sa longueur d'onde. Au lieu de continuer en ligne droite, elle s'étale. Une onde rectiligne devient circulaire après une fente étroite : c'est le comportement clé à retenir.
Ce phénomène est important pour une raison précise : il prouve la nature ondulatoire d'un phénomène. La lumière se diffracte, donc la lumière est une onde. Les sons se diffractent, donc les sons sont des ondes. Si un énoncé demande de justifier que la lumière a un comportement ondulatoire, la diffraction est la réponse attendue.
Le phénomène est d'autant plus marqué que la largeur de l'ouverture (notée $a$) est petite devant la longueur d'onde $\lambda$. Si $a$ est très grande devant $\lambda$, la diffraction est négligeable et la lumière se propage en ligne droite : c'est le domaine de l'optique géométrique.
Les deux formules à maîtriser
Tout exercice de diffraction au bac s'appuie sur les mêmes deux relations. Les connaître par cœur est non négociable.
| Relation | Signification | Paramètres |
|---|---|---|
| $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ | Écart angulaire de la figure de diffraction | $\theta$ en rad, $\lambda$ en m, $a$ en m |
| $\theta = \dfrac{L}{2D}$ | Géométrie de l'expérience (approximation des petits angles) | $L$ : largeur de la tache centrale (m), $D$ : distance fente-écran (m) |
En combinant les deux, on obtient la relation fondamentale :
Cette formule relie la largeur de la tache centrale $L$ à la longueur d'onde $\lambda$, à la distance fente-écran $D$ et à la largeur de l'ouverture $a$. Elle n'est pas toujours donnée dans l'énoncé : il faut savoir la retrouver.
Ce que la formule dit qualitativement :
- Si $a$ diminue, $L$ augmente : une fente plus étroite donne une tache plus large
- Si $\lambda$ augmente, $L$ augmente : la lumière rouge ($\lambda$ grande) se diffracte plus que la lumière bleue ($\lambda$ petite)
- Si $D$ augmente, $L$ augmente : s'éloigner de l'écran étale la tache
Ces trois effets sont souvent testés sous forme de questions qualitatives. Il faut pouvoir les justifier avec la formule.
Démontrer la formule $L = \frac{2\lambda D}{a}$ : la méthode en 3 étapes
Au bac, on peut vous demander de retrouver cette expression. La démonstration suit toujours le même chemin.
La géométrie. Dans le triangle rectangle formé par le faisceau entre la fente et l'écran, le côté opposé à l'angle $\theta$ vaut $L/2$ (la moitié de la tache centrale), et le côté adjacent est $D$. On a donc $\tan(\theta) = \dfrac{L/2}{D} = \dfrac{L}{2D}$.
L'approximation des petits angles. En diffraction, les angles rencontrés sont toujours très faibles. Pour de petits angles exprimés en radians, $\tan(\theta) \approx \theta$. On obtient $\theta = \dfrac{L}{2D}$.
La combinaison. On dispose de deux expressions pour $\theta$ : $\theta = \lambda/a$ (relation de diffraction) et $\theta = L/(2D)$ (géométrie). On les égalise :
Deux points à ne pas oublier dans la rédaction : préciser que l'approximation des petits angles est justifiée car $\theta$ est faible, et s'assurer que toutes les grandeurs sont en mètres avant d'écrire la formule finale.
Calcul type : un exercice complet de A à Z
Énoncé. Un laser rouge émet une lumière de longueur d'onde $\lambda = 635\;\text{nm}$. Il éclaire une fente verticale de largeur $a = 0{,}15\;\text{mm}$. Un écran est placé à $D = 2{,}00\;\text{m}$ de la fente. On observe une figure de diffraction et on mesure la largeur de la tache centrale : $L = 16{,}9\;\text{mm}$.
Question 1 : calculer la largeur théorique de la tache centrale et comparer à la mesure.
On commence par convertir toutes les données en mètres, c'est l'étape que les copies négligent le plus souvent : $\lambda = 6{,}35 \times 10^{-7}\;\text{m}$, $a = 1{,}5 \times 10^{-4}\;\text{m}$, $D = 2{,}00\;\text{m}$.
$$L = \dfrac{2\lambda D}{a} = \dfrac{2 \times 6{,}35 \times 10^{-7} \times 2{,}00}{1{,}5 \times 10^{-4}} = 1{,}69 \times 10^{-2}\;\text{m} = \mathbf{16{,}9\;\text{mm}}$$
La valeur calculée coïncide avec la mesure expérimentale. Les résultats sont cohérents.
Question 2 : calculer l'écart angulaire $\theta$.
On utilise l'une ou l'autre des deux expressions : elles donnent le même résultat.
$$\theta = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{6{,}35 \times 10^{-7}}{1{,}5 \times 10^{-4}} = 4{,}2 \times 10^{-3}\;\text{rad}$$
Cet angle est bien petit (4,2 milliradians), ce qui valide a posteriori l'utilisation de l'approximation des petits angles.
Question 3 : qu'observe-t-on si on remplace le laser rouge par un laser vert ($\lambda \approx 530\;\text{nm}$) en gardant la même fente ?
La longueur d'onde diminue (530 nm < 635 nm). D'après la formule $L = 2\lambda D/a$, si $\lambda$ diminue et que $a$ et $D$ restent constants, alors $L$ diminue. La tache centrale est donc plus étroite avec le laser vert.
Les pièges qui coûtent des points
Erreur 1 : les unités. La longueur d'onde est presque toujours donnée en nanomètres dans l'énoncé, la largeur de fente en millimètres, la distance en mètres. Tout doit être converti en mètres avant le calcul. Un résultat aberrant vient presque toujours de là.
Erreur 2 : confondre $a$ (la fente) et $L$ (la tache). Dans l'énoncé, $a$ est la grandeur qu'on contrôle (la fente) ; $L$ est ce qu'on observe (la tache). Les confondre dans la formule inverse tout le raisonnement.
Erreur 3 : oublier le facteur 2. La relation $\theta = L/(2D)$ contient un 2 parce que $\theta$ est le demi-angle, du centre de la tache vers la première extinction. Oublier ce facteur donne un résultat deux fois trop petit.
Erreur 4 : confondre diffraction et interférences. La diffraction, c'est l'étalement d'une onde à travers une ouverture unique (formule $\theta = \lambda/a$). Les interférences, c'est la superposition de deux ondes cohérentes (formule $i = \lambda D/b$). Ces deux phénomènes coexistent dans le dispositif de Young, mais les formules ne sont pas interchangeables.